* •• •» •♦ »» mt

O. »

U-^air

avri^^v

a ».

# 'i^

V. « '

a 3

•• -n» -<i

ip^ »

» »

» # •

* •

i » n

• .>.>

» »

i.»-^.

■1., ^:!'-ll.>:!

	FORTHE PEOPLE FOR EDVCATION j FORSCIENCE ,
	LIDRARY or THEAMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY

Bound it 1

A.M.H.H.

1916

N 0 V I

COMMENTARII

ACADEMIAE SCIENTIARVM

IMPERIALIS

PETROPOLITANAE

TOM. XXr ^

pro Anno MDCCLXXV.

P ET B.O F O L l

TYPiS ACADEMIAE SCIENTIARVM M D C C L X X V I.

.wjcxjDO a

SVMMARIVM

DISSERTATIONVM,

QVAS CONTINET

NOVORVM COMMENTARIORVM

TOMVS XX. .

a a MATHE-

!.!¥];

:.Vi. / O

l'L V

-.HHTAM

"■f

5 Ji^J^i^JJ^^^J^fS^Jf^-lWS?^*^»!^ -V Sr^i^^^J.lx^JrY-WlWSJr^.lWS 5

^ * + '<• 4» + * •!• •J* 4* ■:■:■ * + ■*••!••{• + + "J* + ^ • j >!*U >!%i >!*•<. >.vt. ^vt *.^^ j,%t j. •«. j-vi • ■•• j. .<. j. .t. j . %!. !.'.<. j,%<. .!.*> j,%«. x.\<. J.V ^

*,^' -'.^ •*-■*- '•S>-4;-$-«^'$— ^•^•-''.^•^- -C-t>"^ •:i:'^ ->-:> ^■'y-f^-i:--^-^-^ ♦'.•?

MATHEMATICA. I.

Aduerfaria analytica mifcellanea de fraftionibus continuis.

Auftore Dan. BernouIIi pag. ^.

Frndioniim continiiarum theoria , quae fupcr-ori iam fcculo , ruinmorum Gcometrarum , Broun« cheri , Wnllifii , Hugenii aliorumque commeiuatio* uibus inclariiir , nounm , etiaiti hifce tempnnbus , praeclaris llkiftrium virorum Eulerl , BermuHi , La Grangii , in ea vberius excolenda ihidiis celcbritatcm adipifcitur. In praeienti diflertatione III. Audor id potiflimum operam dat , vt cafus examinet , quibus .expreiliones fradionaks infinitae formula fiaita dcfi- niri queani fiue algcbraica fiue iranfcendeutali. Fx-

I

preflionis in hoc genere fimpliciflunae i?i ~\- i

m -+- etc. valorem .ncuto ratiocinio ex ipfa conuergevtine n ole dedUcir; fi enim fupponamus , illam expreflionem

a 3 coaiinuo

continuo magis magisque ad ccrtum et determlna- tum aliquem valorem , qui fit =S, conuergcre; poft numerum infinitum concatenatarum eiusmodi fradlionum, valor exprefllonis non variabitur, etiamfi a fronte fuperaddatur noua fradio ^ ; ita , vt iatn tota feries fit ^;-~s ' ^"^mobrcm cx praemiflb ra- tiocinio erit —~-^ — S; adeoque quaefitus expreflio* nis valor S rz: ~ "' ^ v u -j- "'^- ) ^ defignante m nume-

rum quemcunque,; ad quem valorem termini fradio- nis continuae eo conucrgunt citius , quo maior va- lor numeri m fuerit adumtus. Veritatem huius for- mulae bina exempLi pro m numero pofitiuo tam rationali , quam irrationali euoluta, abunde probant ; afTumto fcilicet fit^no pofitiuo membri radicaii?, vt fit S in — ,^-^ vf «-t-mn ^ 5i -yero pro (/; numerum nc-

gatiuum ~— « affumere placeat ; tum , fiatuto membri radicalis altero figno , fornrula adlvbcnda erit S — -"'-vu-^mM . adcoque S — l^-^!;-^"'>.

Adplicatio huius formulae ad cafum fimpliciflimum> W — o , qui medium quafi inter duos praecedentes lenet, binos pro S valores fuppeditat, fcilicet Si: i ; et S~-j. Paradoxi huius cuolutioncm tradit 111. Au(flor, ex principiis fuisin diflertatione de (eriebus finuum vel cofinuum angulorum arithmetice progredicntium prae- cedcntibus nofiris Commcntariis infcrta explicatis. Prae- nuffa folutio , quamuis et plana et eltgans , hypo- thcfi tan^en cuidam innititur ; iflas (cilicct ex- prcfliones ad certum ct dctcrminatum aliqnem va- lorcm magis magisque conucrgere ; ncque igitur in-

concuflTa

-^.1 ( 0 ) 1'^- t

concufla ftaret eius praecifio , fi fbrte iftae expreflio- nes ad terinioos data lege pcreodice recurrentes \tciin.iue inter fe inaequales , coauergerent. Alia igitur et a priori plane diuerfa aietliodo idem ar- gHiTientum pcrtradlat III. Vir j fcilicet fradliones continuas fuccefliue , a fradione vni - membri pro- grediendo ad bimembrem , trimembrem atque ita porro , in aequiualentes conuertit fradliones fimpli- ccs , quarum tum ifl;am detegit proprietatem , \t numeratores feriem recurrcntem fecundi ordinis con* ftituere ; denominatores vcro lege plana et obuia progrcdi euincat ^ quo id efl adeptus , vt pro qua- licuiique termino N fradionum iftarum fimplicium, qui fraclioiiis continuae membrorum numerum N continentis valorem exprimit , formulam generalem afli^nare valeat , quae quidem ita deprehenditur ex- prcflli : Valor fratflionis continuae fupra memoratae N mcmbra complexae

^:>a ( ?/M- V [ 4 + w' ] )^ — 2 ( ffl - y [ 4 + w;^ ] )N ^ ( ;/; -i- V [ + + m' ] f-^' - ( w - V [ + + »/"- ] )N-+-«* lam vcro cum de fradionibus continuis in infinitum progrcdicntibus quaeflio fit ^ id potiflimum quaeritur, quisnam fit huius expreflionis , valor, fi fuerit N-fs». Facile autem patet , fbre tum,

j) pro m niimero pofitim

C — l . — — JTt -H V( ♦H-W^ ).

■ m _+- V V + -H m- ) 2

prorfus , vti priori methodo fuit inuentum. 2) Pro m numero negatiuo

C — j — — m — ■•(♦-<- m*>

ra — y(*-«-iii») 2

adeoque

«• ->^.^ ( O ) 2-'F?-

adcoqnc fi m-n-n:, liabcbirur S cr " — V-(j,,-tL^^ qi-ic- foriiiula iterum cum ca , qunrn altcnpjnidihoJuS luppeditiuiit , pcrfc^fle cougruir. -^^ .; n-.:; .i;.;^:. / At runpliciHiiTujm fait frciftfo^ufti conttnu"- rum genus , quod 111. Audor hic cft contempljius, in quo fcilicet eadem prorfus fra6:io in- <|Uolibct tcr- inino recurrlt ; fuccedit^ fecunda harum frfl(5l onum fpecies , vbi binae fradioncs akerno ordinc perpctuo recurrunt ^ vcluti

« (

m -\- q

m -4- etc ciiius valor ita exprimitur

2 ;« quas vocat 111. Audor fradioncs continuas fecundi ordinis. Eadem methodus et pro altioribus ordini- bus (uccedit ; et quotuscunque fuerit ordo frinftioiuim continuarum ; valor quacfitus femper aequaiioiic qua- dratica cxprimi potcrit ^ \nde iOa methodus pro fra(f^ionibus periodicis egregii vtique \(us trt. Ad- plicuit eandem 111. Audor ad progrcdionem poft periodicas fimpliciflimam , ponendo in fingulis tra- ^ionibus \nitntcm pro numeratore et nunuros na- turales pro dcnominaioribus (e inuiccm (ubli^qucnii- bus , \cluti I

2 4- I

3 -h ctc. liuius-

*^S9.| ( o ) l-^<- 9

hulusque feriei notabiles detc,xit proprietates , qua- rum ope valor quaefitus commoda et celeri adproxi- matione poteft definiri ; attamen ad eum geometrici praecifione dcterminandum, conceflis pracfcrtim qua- draturis vel fignis fummatoriis , noua requiri vidca- cur calculi artificia.

II.

Diftjuifitiones vlteriores de indole fraftionum continuarum.

Auft. Dan. Bernoulli pag. 24,

Qui ea , quae ia praeccdente III. Audloris difler- laiione de eodem hoc argumento fuot prolata, debite perpenderit , facile perlpiciet , fracflionum con- tinuarum tlieoriae ibi propofitae infigne allatum iri incrementutn , fi methodus in promtu foret , cuiuf ope fradiiines fimplices , fradionis continuae dato terminorum numero conUantis valorem expri- mentes , fine operofa earundem conuerfione analytico ahquo artiicio affignari pofTent. Tradit igitur 111. Audor iniiio huius differtationis perupportunum com- pendium , quo omnis in continuanJis fratflionibus finplicibus labor infigniter fubleuatur , ita , vt cur- r.nte veluti calamo noua quaeuis fradio fimplex furmari atque c<Mifctibi poflit , iJque qnacunquc tandem .'ege , reguhiri fiuc pro arbitrio variita , 'lom.}iX. Nou.CoiTjm, b fra<ftio

fra<flio continua progrcdiatur, Qua oci-af^orte data', III. A'Jdlor de f^iTic& , fraaione CQr.tii;,\ia Brouncher riana, quae .ia iufiai^aiTi.. pro^u^^^i, ejxoeftutn iqAWf drati rup,r/i,circulu<^ ei,J'^/u:j,ip(um(i xnitate epcpre^ fun,i ,,ii)dici^t ,, nonas nrifert; obferuationcsl) et notae corrcClio>ii Waliifianae nliam fublUtuic muItoeffiGaciio»' rem , qua fcilicct efficitur , vt valores pcrfpicuis pafTibus ad verit.atem accqdant. Regula , quam III. Audor propo'.iit pro continuandis fraiftionibus illis , qua^rdipjii^vjs i .fiipplicibu» ^encrfllis- efr pio /c^tTini- bus qualibuscunque fradionibus continuis, ad indices arbitrarios conftrudis , iisqne fuie abruptis fiue in infinitum continuatis. Cafns, autem ,, ibi-indices vel periodico recitrrnnt ordlnc*,'* vcil conflanter 'iidem permancnt ,^ foU vidcntur , qui fradionem continu4H« irifi'nltarri''reddant Hiiutabilem in exprcdionem fini- tam;''a qUibuS fi difceHeris , non nifi idpropinqua- tioiVes ad verum Vdlorem obtincnt ; tunjqne de eo potiflimun:^' quaeflio eft , vtinam abrumpcre opera'r fioriemfit confultias. et quaenam , fi adcuratiorem defidercs dctermimitionem , adhibenda fi: corredio minori labore dcterminanda.

.Sequentes 111. Audoris obferuationes ad theo- riam dc frad:ionibus'continuis fub forma gcncraliili- ijia fpcdatam pcrtinent ^ et quanta in iis- traAandis adlilbcnda fit circumfpecflio , notabilioribus excmphs comprobant ; ita , v. c. fingulares cafus funt , fi in- tef membra fra<flionis continuae occnrrat aliquoJ , cujus vtl numerator vcl denominator fit zi o ,• vcl

fi

o. - :!(

fi membrum intermediiim fit negatiiium , veluti — -^. vbi quidcm (ollicite dirplcicndumj num ifta frad;io

fit —■>' vel ;±i^; qui bini cnfus , pcr fe iidem , diffe- runt tamen ob diucrfitatem, quam fcquentibus mem- bris inJucunt, fi talis fradio ncgatiua fit vuermedia ; qune ipfa ^qnoque ratio eft , cur indices -^ et ^-| iiHcr fc diffcrre fint cenfendi , vnde vix fiitis prae- d^cari poteft ncceflkas , vt , qui proponit fracflionem (jiiandam continuam , non (olnm valorem indicum , fed et formam eorum tam ratione terminorum ,' qiiam fignorum , • di(lin<fle exprimat , ex quo et id perTpicitur ^ ieos', qui formas fradlionales femper tales conftiiuunt , vt finguli numcratores vnitate expri-' mantur , minimam huius argumcnti particulam ex- haurire ; et facile in errores prolabi pofle ^ quod 111. Autflor exemplo comprobat.

SuId ftqem differtationis tlieoria hic propofita' comparatur cum Eukrianu Tomo XI. horura Com- ment. tradita ; et vfus fradionum coniinuarum in euoJutione radiciim quadratarum oflcnditur , vbi id imprimis peculiare habct 111, Audor , vt radiccs qiiadratas, v. c. V ^:, V 13; V 61^ etc. fracHiionibus continuis 7«/i?r/(?n//;; ordiniim veluti' primi ' ordinis , vbi conf\anter indices psrmanent iidem , exprimere doccat.

b 2 III.

III.

Solutio quorandam problematum Dio- phantaeorum.

Au£lore L. Eulero pag. 48.

Analyfis fublimior quantum methodo diophanteae, quantaque haec 111. Eiilero incrementa debeat , eos haud latent , qui hoc (peculationum genus non aduerfantur. Tria potidimum in praefenti differtatione fohita traduntar probiemata Diophantaea , quae ita denunciari pofiTunt : Inuenire duo quadratorum paria * ^j yy et 1 1, uu ,

I ' (xx-^-yy^^uuxx+ttjy) \ ▼t fiat •{ '2.){ttxx + uu}\y)(uuxx-^ttyj)} quadratum

t

.tt xx-\-uuyy et |

' uuxx -\-ttyy . J

Qiiod ad prius horum problemaium attinct , id ita reftringitur , vt tam x et y quam t ct u fmt nu- nieri primi inter fe ; quoniam , quicunque bini nu- meri pro iis fuerint inuenti , eorum aeque multi- pl.t , vehiti a a: , a/ et (3 ; , p« quaefito , vti fta» tim pafet , .Tcque fatisficiunt.

Quod fs iam formula prior

( x X -i-yy ) {t t XX -^uu yy ) quadr.ito

( X V -hyy y xxyy{pp-+-qqy

acquc-

•»>

( O ) |c|.- 13

flcquetur , inde Hatim binae litterae t tt u fe(}Ueati modo expreffae prodeunt :

tzzxy{pp~qq)-\-i.p qyy et ti-xyipp-qq)-!^pqxx

•X quibus pro ahera formula fit

tyzizxyjipp-qq^-^-^ipqy* ct UXzzX xy ipp — qq) — i.pqx\

Cum igitur produdum

{xx-^-yy^ittyy-^-uuxx^

«juadratum fieri debeat , omnibus dcbltc m vfum vocatis fequens prodit exprefTu) ad quadratum re-

duccnda :

^ppqqx-^pqipp-qq^X^y+ip^-Cppqq-^q^^XXyy

')r^pq{pp-qq)xy-\-^ppqq/'y

vbi quidem III. Audor cafum fe quali fponte «36- rentem x—y excludendum iudicauit , quia fornnfula quadratum eflicienda hoc cafu foret 2(f^H-««), quod nuUa plane difficultate laboraret. At li foio mula illa huic quadrato :

iipqxX'-{pp-qq^xy-^zpqyyY

aequetur, inde fequens coUigitur folutio problema* tis (^ vbi fcilicet numeri I et « ad minimos terminos funt redudi )

x=:zipp^qq)-^ t—Zip^-hppqq-h^^y

j=^zpq i uzr{pp-qq'y.

b 9 Huic

itr -^l (,q) lf€-

Hj^ic veco folytipni Vir 111. alias adhuc pariter in- .

fmite patentes adiecit ; veluti X — p{p-\-iiq)i t^p,[q-^'p.p)[pp'^'2.pq-\-:iqq)

y—q{q-^^p) i uz:q(p-{-2q){qq-^r2.pq-\-2pp)

et

X=p(p- £ q); f—pCzp-^q^ipp-^zpq+nqq^

y^qi ^p-'/iy%¥^.:q.lP'- ^q)Cqq-<^pqi-3fp)

quae vero folutio , cum a praecedeiue non difcreper, 111. Audlor ex duabus prioribus folutiones particu-. lares , quomodo facili negotio deducendae fint '■, bre-' viter oftendit , pluresque fimpliciores fubiungir.

En ergo fpecimen metbodi , qua III. ■Etikrun vfus eft , ad folutioncm problematum fupra denuti-' ciatorum perueniendi ; eandcm enim fohuionem for- ti.untur problemata fequcntia , ita vt non opus fit> recenfioni huius differtatioiiis diutius immorari. Tan- tiim enim circa problema fecundum obferuandun^ erit , quod infinitas folutioncs admittere vidcatur," qilae praecedenti non conueniant ; quia formula

{t t X X -\- u iiyy ){uux X -\- t tyy. ) quacratum fiere potcft, ctiamfi ncutra praecedcntium fuerit quadratum , ad cuius rei confirmationem Cel. Auftor hoc adfert cxcmplum:

Jf =973'i ^== 2<^3 ; '/ = 973 ; u— 1841. Solutio autem huius problematis latius patens ita fc habct :

X ~ ^ n -\- 6 m ni nn ~m ; t znm x

j' — 3 111" -\- 6 m m nn — n* i u — ny.

IV.

IV. ^^ ^•^' •

Sp^CLilationes , AQal^f licae. Auftore L. Eulero pag. 5p.

Speculationes analyticae ab 1\\. ^Eulero hic tradita^

fuper formula intcgrali f ~~f~ — dx verfaHtilf;

Cum enim cius valorem , fi a termina x-=:.o vs-- que aJ terminum x-\ extendatur, inueniflet z/p^,, haec iutegratio , quippe cuius veritatem per me^ thodos confuetas oftendere hadlenus non licuerat ,■ haud parum attentionis mereri ipfii videbatur; quam^ ob' rem confiderationcs , quae fuper hac formula Viro III. fe fe obtulerunt, hic exponuntur, variaquo inde elegantifllma deducuntur Theoremata , quorum praecipua hic ante oculos ponemns , ledorem vbe- rioris inuefligationis curiofum ad ipfam difl"ertatio- nem ablegentcs.

Si formulfl Ji^I^^Ji a termino xthO vsque

ad terminum x—\ extendatur , eius vaior integra-- lis aeqnetur arcui circuli cuius tangens eft n , cuius theorematis veritas ex confideratione tam exponen- tium imaginariorum quam fequentis feriei eft petenda, Cum enim fit

V'' •■ I. I. ( I.- . • • ■< I. . • . 7

inde

inde flatim elicitur

J Ix « ' t 7 » '

cuius feriei fumtna maniferto cft A tang. n , ita vt pofito »=i fiat /liJf^- — 5. denotantc tc femi- peripheriam circuli , cuius radius — i,

S'\ formuh fi^^H^l^-^i^ a termino x=:o ad terminum x — i cxiendatur , eius valor int©» gralis deprehenditur efle — Wri^—^» »n quo igitur nullus arcus circularis occurrit, etiamfi in hoc thcoremate praeccdens coatineri videatur. Manife- ftum autem eft , dn. q l x ad vnitatenn reduci non pofle, nifi quantitas q variabilis accipiatur. Ex for- mula autem gencrali , quomodo huius Theorematis integrale deducendum fit , inueftigandum iudicauit Vir lll. quem in finem hanc confiderat formam ;

/ ' . , quam m has du.is rcfuluit

d X ( A«-*-^ - a:P "^^ ) dx{ x"-*-' - x^-*-^ )

J Tx ^ Lx ' ^"^-

rum vtraque cum formula generali initio memorata manifeflo conucnit \ hinc autcm labore haud operofo ad formulas in iheorematc expreflas peruenitur,

x^ d X fin. n l X Si formula f ; a termino x — o

■^ / X

ad terminum :*: — i extendatur , ea fempcr huic valori : A tang. — — aequetur. Hic obferuandum

cft , hoc theorema ad primum rcduci, pofito w r i ;

tum

tiim vero quotics " — eundcm indiiit valorem ; totius etiam formac iiuegrales intcr fe aequalcs euadent.

,v« — x^ d X ab .V — o , Formula / : ^ • -7- [ j _ J femper

aequctur huic formuLic :

7 a (3 -)- n g -4- - 1 g -4- T W j.-

cuius produdi valor per ea quac Vir 111. in Mi^ lcclleneor. Bcrolin. Tomo VII. pag. 11+ circa huius*

modi produdum

a c -i- b a -f- fe c_(_6-t-fe^ a -^ • k C-H bj^-j k 6~ ■ c -i-a •0-t-fe*c-f-c-f.fe * 6 _t- i ft" * C H-«t- * fe

docuerat , deprthenditur

P — 2 n.

ctc.

fl*

Denotaiue / numerum infinitum formula 2« '" _ -P ' ^ s a 5; — o ■ «

Denotantibus litteris 5(, 33, S etc. huiusmodi prodiKHiis

51r=(a-(3)(ct-v)(a-(5")(a-e) etc.

23:3:((3-«)([3-Y)(p-(J)(p-e) etc.

e=(V-cc)(Y-^)(Y-o J(y-0 etc.

etc.

Tom.XX.Nou.Comm. c littera

18 -441 ( o ) ^g2<-

littera vero N fit =: i. 2. 3. 4.. 5. . . . ( «— 2 ) , (emper erit

dx X* A-P x"^ x^ ab .v — o ^

/^P^Si + ^ + e+^-^-'^'-^ adA--x^ =

V.

De Refblutione Polygonorum reftili- neorum , Diflertatio (ecunda.

Au&ore A. I. Lexell pag. 80.

Cum in priori de hoc argumento Diflertatione, Clar. Au(flor modum expodiiner , quo ad ae- quationes perucnire licet quibus rLfoJuiio vniuscun- que figurae redilineae abfoluitur , quatcnus niniiium ratio tantum habetur btcrum ct angulorum iplius ambitum conftituentium ^ nunc id ipfi piopofituin efl: , vt quibusdam fpeciminibus doceat , quomodo iftiusmodi aequationes tradliri dcbcant , vt aptas et commodas fuppeditcnt folutioncs. Hunc in finem quatuordecim Problemata , quac pro rcfolutione qua- drilaterorum locum hnbcnt , cx aequationibus fup- peditatis refoluenda fibi piopofuit. Etiamfi vero folutioncs nonnuUorum ex his Pn blematibus tam faciles fint , vt vnicuique patefcnnt ; tamen aliae ea- rum quasdam aequationum tranbtorinationcs requi- ruut , vt in Praxi facilcs ct comii,odac cuadant. Sic

fi

(1 propofita fuerit ifta quaeftio , vt cx datis tribus quadrihucri lateribus et duobus angulis, qui bina ho- rum lateruni interiaccnt , quaeratur reliquum latus ; tum fjcile quidem inuenitur acquatio valorem hu- ius lateris , per data latera et angulos datos expri« mcns , vcrum quum illa expreflio ex nimis maguo termitiorum numcro fit compofita , in eo elaboran- dum fuit , vt noua quadam quantitate introdiidla , (olutio ad concinniorem formam reduceretur.

Notum e(l in rerohitione triangulorum , folu- tiones nonnunquam inde fieri elcgantiores , quod plures partcs incognitae trianguli fimul quacrantur j fic pro quadrilateribus quoque iionnunquam praeftat ex iisdem .datis , plures partes quadrilateri incognitas fimul quaerere, quam vnamquamque feorfim inuefti- gare ; ita fi data fuerint tria latera quadrilateri , cum anguiis inter bina interiacentibus , bini reliqui anguU eadem opera inuclligari poffunt , quaerendo exprcffionem pro eorum d:ffcrentia , quippe quum eorum fumma iam per datos ani^ulus determinetur. Opcrae igitur prctium quoque cfTc duxit Cl. Audor Problemata ex hoc gencre oriunda euolucre et ex- plicare.

Tum vero vt ea ilhiflrarentur. quae in priori DifTcrtatioiie docuerat de refolutionc Polygonorum , quatenus refpedus quoque habctur ad diagonales vel angulos laterum cum di:igonahl)us , pro quadrilatero tradcndam ccnfuit cnunierationcm earum folutio- num , quae locum habent , dum diagonalis quae- dam quadrilateri , vel anguli diagoualis cum lateri-

t 2 bus

bus confiderantiir. At tamen fatendum efl h.inc enu- menuioiicm cxigui e(!c \lus , quuin ad coaijlean cognitionem (olutionum , quac; pro quadr latero lo- cum habere pofliint requirntur , vt fine d.kriniine refpecf^us habcntur , nd omncs redas, quibus quatuor puncta in eodem plano fira iiitcr fc iungi poflunt et angulos has rcd:as interiacentes. Si autem quis huiusmodi cnumcratioiicm inire vclit , ncccrtum e(l, \t quinquc omnino (ohitio lum claffes conltituat , prouti nimirum , eas fohitiones fex , quinque , qua- tuor , trcs vel duo ingrediuniur hneae.

Deniquc vt adliuc eo clarius patefccret , qua ratione aequationes pro refbhuionc Polygonorum ad \lum accommodari poflint , (ub fincm huius Diffcr- tatiunis Audlor nofler difficihora problcmata pro re- folutione Poly^oni quinque laterurti fibi Ibhicnda propoluit ; quorum indole probe pcrfpccT:!! , ficilh- mum crit pro rcfohitione Polygonoruin altioruin ordinum , fimiles transformationcs inuenirc.

VI.

Obferuatlones circa noiinin et fingu- Jare ferierum genus.

Auftore L. Eulero pag. 12^.

Inter res, qoae prima fronte attentione noflra haud dignae videantur , obfcruari faepc numero quae- dam , quae attentius pcrpenfae ad profundas fpccula-

tiones

( 0 ) ^'4<* ai

tioncs perduciint , nuUus corum , qui fubnnilioribus

praccipue f\nalyfeos Uudiis incumbuiu , inticiabitur ,

cum plurimis exemplis et adeo liac dilTertatione

connrmari paHU. Contemplatio enim illius nots-

mac quacflionis , qua quindccim ChrilHani toiidem-

que lu.iaei ita ordine (uit coiiocandi, \t fi , nume-

landi initio in loco quocunque conliituto , nonu5-

quisL]UC in mare fit eiicienJus , Iioc (upplicium in

(olos ludaeos fit cafurum , Ili. Eukro anfam prae-

buit, lioc fini^ulare progrelllonuin genus inuefligandi.

Etiaiiifi enira liacc quaeliio in fe fpedata liaud dif-

ficulter rcfoluatur: tamen , fi in gencre de liomi-

Dum numero indctcrminato , ex quibus fecundum

quemlibet ordinem et numerum quotusquisque fit

eiiciendus , (ulcipiatur , mox inteiligetur , quaellio-

nem inter diffi:ilimas efTe referendam , cum non

dctur met'i()dus Iioc in genere praeUandi. Quin

etiam eius.iem generis quacrtionem , fi ex plurium

fontium numcro, is folus pociiam fit fubiturus, qui,

portquam nonus vel alius quotus qui-que tx ord.ne

fuerit eiccflus , tandem folus fit remanfurus , atten-

tione mnximc digiam ccnfct Vir 111, \bi fcilicet

locum nolle opportet , in quo numeratio termina-

tur. Ad omnia haec vbcrius cxplicanda , confidera-

tur cafus , quo ex (erie 30 notarum nonaquaeque

delctur ; at numcratione acln Jnftituta indfcibus |ue

eicAorum ordine difpofitis proJit ferics , quam hic

cum indicibus notarum fubtcriptis afpedui exponemus

I» 2, 3,4., 5, 67, 8, 9, 10, 11,1:, 13, 14,15, 15,17. 18^19,20,21,22,23,24,25,25,27,28,29,50 9,I8,27,(5,I(S,2<5,7,19,30,I2,24, 8,22, 5,23,11,29,17,10, 2,28,25, l, 4,15,13,14, 3,20,21

c 3 in

«ar

-3^.^ ( o ) ^:c|<-

in qua igitur poflrerna ferie, quae hic ferles eieSiionis vocatur , nullus plane ordo patefcir.

Cum autem haec feries duabus rcbus determi- netur, quarum altera a numero notarum , alttra ■vcro a numeratore pendcat , tota qiiaenio in geiiere eo reducitur, \t propofito notarum numtro \na cum numeratore ipla fenes eiccSionis inueniatur ; cuius autem (olutio , cum in gencre expedari nequeat , 111. differtationis Audori plures cafus particularcs percurrere vilum eft , fpe treto, fore , \t inde kx qnaepiam dete»^atur , cuius ope regotium confici poflit; quem in finem lcries eicdionis pro diucrfis numeratoribus iii talibus fdiematibus expofuit, quale hic pro numeratore 3 perfpicuitatis gratia appo- nemus

Numerus	Serics ciedtionis
notarum	pro numcratore 3
I	I
s.	>,i
3	3, I, 2
4	3. -r4» I
5	3,1,5,2,4
6	3,<^, 4, 2,5, I
7	3,6, 2j 7, 5» I) 4
8	3,6, 1, 5, 2, 8, 4,7
9	3,6, 9,4, 8, 5- 2,7, I
lO	3,<>, 9, 2, 7, 1. 8, 5. 10,4
XI	3,6, 9, I, 5,10,4,1 I, S, 2, 7
12	3,6,9,12,4,8,1,7, 2;ii,5,iO
etc.	etc.

•vbi

vbi quidem fecundum lineas verticales et horlzontales ordo valde efl abftrufus ; verum in vltimis terminis progreirio arithmcticii ternario crtfcens occurrit, cuius termini numerum notarum {upcraiues infra eum funt deprerti, eadcmque lege progrediuntur penuhimi, ante peuukimi , ctc. Simih etiam modo pro nn- meratore 2 retflae obhquae , ci quae pet terminos vkimos tranfit paralltlac, pcr progreflioneb arithme- ticas binario crelcentes; pro numeratore 4., per progreflio les quaternario crefcentes , et ita porro , progrediuntur , ita vt ope huius legis variis a Viro 111. exemplis confirmatae pro quouis numeratore ec notarum numero nota vkimo eiicienda facili ne- gotio aflignari pofiit. Et quidem in genere fi fta- tuatur nurnerator ir« , pro notarum vero numero y fit vkima eiicienda rr z , tum pro numero nota- rum V -}- I vkima eiicienda erit z -h ;;, dum modo non fit z -\- n^ V -\- i ; fi enim lioc cueniret , vkima foret vel z + n — {y-\-i)^ \tl z + n— zw-i- 1) f vel in genere, diuidendo z -i- n per y-t- i, refiduum ex diuilione natum praebebit indicem notae vhimo eiicienjae. Quae regula maxime notatu digna me- rito ab III. Audlore tanqium infigne Theorema fptdatur , cuius demonflrationem etiam hic elegan- tiffime adumbrat.

Quaecunque autem fit fimplicitas huius legis pro notis vkimo eiiciendis, Viro lll. tamen non hcuit earum feriem in genere exhibere , cuius rei ratio manifefto in eo eft fita , quod teraiinorum re-

dudio

duAio pro auouls numeratore perpetuo ad nlios nume- ros fit !nllituenda, neque vUus terminus ex praecedente abfoiure diterminari poflit , etiamli pro cafibus (pe- cialibus ad terminos valde remotos pcr faltus pro- grcdi liceat , ita vt non opus fit intermedios euol- \iflc ; cuus rci iiic exemplum pro numeraiore 9 traditur , in quo leries \ltra ter mille termiuoscon- tinuata cll.

Meditationes circa fingulare {erierum

genus.

Auftore L. Eulero pag. 140.

Refert hic Vir UI. fe in commercio iitterario , quod olim cum Celeb. Goldbathio coluerat circa leries in forma hac generali :

contentas verfatum fuiflc , cuiuimodi fcrie^ , ctiamfi raro occurrcre (oleant, parumque vtil.tatis polliccan- tur , ideo Ul. diflerratioiHS Audlori omncm ntien- tiotiem mcreri vidcntur , quod mcthodi earum fum- mas inuefligandi aliquando Analyfi infi^ncm vluni affcrre pofl^iint> Trcs autem potiflimum jdantur incthodi diucrfne ad huiusmodi fcrics pcrueniendi , quarum quacque hic icorfiin a Viro 111. cxplicatur.

Hae

Hae autcm methodi , vtut meyis confijerationibus artiticiisque analyticis infiftentes , vberiorem in haC epitome explicationcm non admittunt ; vnde ledo- res rei analyticac periti ad ipfam differtationem , vbi latiirimus campus et fons ad moJum foecundus aperitur , peculiare fcrierum genus compkftens, fuat ablegandi.

' ;'• . ">

,n

^•^

•}

Tom.XX.Nou.Comm. d PHrSlCO-

PHYSICO - MATHEMATICA.

L

Formulae generales , pro translatione quacunque corporum rigidorum.

Auftore L. Eulero pag. 189.

("^um 111. Eiilerus in praeclaro fuo opere , Theo* J ria motuum corporum rigidorum , duplicem huius argumenti inueOigationem , geometricam (ci- licet et mechanicam , fimul aggreflus eflet, quo tota tradatio valde intricata reddebatur ; hoc loco folam partem geometricam , vbi fola translatio corporum , finc vllo refpedu ad motus principia , per mcras fbrmulas analyticas repraclentatur , fibi pertra«flan- dam propofuit; quia hoc modo ip(a motus deter- minatio ex principiis mechanicis multo facilius cx- pediri potcft,quam fi vtraque inuf fligatioconiundim fufcipiatur. Primo igitur fitus corporis rigidi ini- tialis definitur , quem in finem 111. Auclor pofi- tionem fingulorum pundlorum per ternas. coordina- tas inter fe normalcs repraclcntat, ideoque ircs axcs fixos fe inuiccm normaliter fccant(.s coafiiiuit , quorum bini in eodem plano (unt fiti , quo tcrtius normalitcr infidit ; tum igitur , confider.uo pundo corporis qnucunque, fi ex eo ad planum deniittatur perpendiculum et ad axcs ex pun(5lo in plano ni^r- -V. .-»■-. ■ malcs

rnales , manifeftum eft pofitionem fingulorum cor- poris pundorum commodiirime per ternas coordina-. tas determinari. Totam autem iftam repraefentatio- nem ad inucftigationem mechanicam magis adaptari obferuat Vir 111. fi pundum illud , in quo axes fixi initio conftituti fe inuiccm normaliter interfe- cant , in ipfo corporis rigidi ccntro grauitatis acci- piantur ; tiim vero fi tcrni illi axes in ipfis axibus corporis principaJibus conflituantur. Quibus in li- mine notatis II'. Audor ipfam inueftigationem ar- gumenti propofiti aggreditur ; faftaque iam transla- tione corporis quacunque locum confiderat, in quem punclum illud intcrfcdionis fuerit translatum , voca- tisque pro eo coordinatis /, g, ^, fi pro alio pundo quocunque coordinatae in ftatu initiali fuerint p, 9, r in fitu translato vero x , j , z , quia diftantia ho- rum dunrum pundlorum eadcm efie debet tam ante quam poft translationem , ad ifiam peruenitur ae- quationem :

pp-i- qq-i-rr = (x -/)'-+- {x - g y-i-{x-hf ,

tum vero qiiia dift.intia inter bina corporis punda qu lecunque in fitu translato eadem efle debet , quae fucrat in ftitu initiali , cx his conditionibus dedu- cuiitur valorcs coordinatarum .v, /, z, qnos induunt cafibus , vbi trium qnantitatum p ■, q ^ r duae eua- nclccntcs ftatuuntur ^ ita vt hinc patcat , quonKjdo eae a finguiis his quantitatibus pendeant. Qiiihus ex- peditis omnes hae litterae fimul in Cf^mpunun du- ci|ntur , tandemque omnes tranblauones, quibus fitus

d 2 corporis

corporls rlgidi BiJitari potfift. } per fex elemwta de-

terminantyr. r:"} ^-r: r • ■•;if;-'- ; .

Deinde cum notum (It, in transhtione iofinite parua fempcr dari quandam lineam retflam, cuius fitus parallelus fit ei , quem eadem re(5ta in Hatu jnitiali habuit, 111. Audor explorat , vtrum io tr.ioslatione; finita etiam detur talis reda , quae ip vtroque ftatUf eandcm diredionem feruet , quaeque euidenKr axem, circa quem corpus gyratur repraefentat. Cum au-» tem haec inucftigatio , ad aequationem perducat , dd qua non pateat, quomodo ad nihilum ftt reducenda, delerit eam Vir III. aliam viam iugrediens , cuius ope facile demonftratur, quomodocunque corpus ngi- diim tx vno fttu in alium transferatur, lcmper dari eiusmoili rtdam , cuius dirccflio nullam mutationen^ patiatur ; etiamft haec vcritas ratione formulaiun^ aoalyticarum pro maxime abfcondita fit habenda, Concepta igitur Sphaera corpori ligido circumfcripta, cum iplo connexa fimulque mobili , III. Aixflor fe- quens theorema demonftrat : Quomodocunque Sphaer» circa centrum fuum conucrtatur , fcmper alhgnari poteft diameter , cuius dircdio in fttu traaslato coa-' veniat cum fitu initiali.

11.

II.

N"oua methodus motufTi corporum ri- gidorum determinandi.

Au£lore L. Eulero pag. 208.

Cohaeret praefentis differtationis argumentum cum eo , quod iti priori pertradauerat Vir 111. totaquc eius inuelHgatio demonftrationi theorematis in fine annexi accepta eft referenda, In Theoria quidem motuum corporum rigidorum Ccleb. Au(flot omnia huc pertinentia feliciflimo fucceffu pertrada- verat { interim tamen folutiones ibi traditas nimis intricaias et appUcationes molelliirimas effe ingenuq fatetur. Dcterminato enim motu centri grauitatis , ad quoduis tempus tam pofuionem axis gyrationis et axium principalium quam ctlcritat^m determinari opnrtebat ; ad quod introdudio plurium quantita^ tum vari;ib:iium pol^ulabatur. Haec autem incom* moda euitantur , li infignis illa proprietas axis gy- rationis in vtroque ftatu inuariati in fubfidiuin vocatur •, quo faAj omnia, quae ad dcterminationeni motus huiusmodi corporum pertinent, fine tot quan- titatibus variabilibus facili negotio abfoluuntur. De- terminato enim motu centri grauitatis in ftatu initiali , ille quaeritur axis , qui in fiatu translato eandem habet diredionem; tum vero definito angulo, quo corpus circa hunc axem fuerit conuerfum , ad quoduis tcmpus fitus corporis accurate innotefcit.

d 3 Confi-

Confiderat igitur Vir 111. corpiis in flatu ini- tiali , in eoque pro hibitu accipit pundum quod- cunque , per quod tres axes fixi inttr (e normales ducuntur , quorunn refpedu fitus fingulorum corpo- ris pundlorum per ternas coorciinatas dtfinitur ^ tum vero ex eodcni pu: do tanquam centro fphacram concipit circumfcriptam , ip(b cum corpore cohae- rentem finuikiue mobilem , quo omncs inutftigatio- nes ad dodrinam fphacricam , in (ubfidium calculi hoc modo facilius reddendi, reuocari queant. Ktiamfi autem tam in priori difllrtatione quam in ipfo tradatu de motu corporum rigidorum tam punduni illud in centro grauitatis quam tcrni axes fixi iii ipfis axibus corporis principalibus conftituti fuiflent : tamen hic nihil referre obfcruatur, fi omnia in alio loco quocunque pro arbitrio accipiantur. His prae- mjflls ex trigonometria fphacrica ftatus corporis ini- tia lis definitur ; tum vero ex confideratione eius- modi radii , cuius dircdio in \troque flatu eadem eft, determinatur ftatus corporis, in quo elapfo tem- pore t reperitur, vnde diuerfae prodeunt exprcfllones, ex quibus dcinceps formnlae generales pro trans-la- tione quacunque formantur. Qiiibus cxpofitis 111. Au<flor nonnullos fitus principales pundi cuiusdam confidi rat , cx qua confidi.rntione noucm oriuniur exprcfl'ioncs fpcciaks translatoncm huius puncfti de- terminantcs ; quac idco omni attentione funt di- gnae , quod cx i;s formuljc gencrnlcs pro transla- tione quicunque nitidiftime componuntur ; quae in- flgnis proprictas in thcorcmate pcculiari generalifll-

mo

«•>

( 0 ) If2<- 31

mo compleditur , cuius Teritas ex ipfis calculis an- tccedentibus patelcir. Hoc theorema fiibreqiiitur ap- plicatio fbrmularum pro translatione inuentarum ad coordinatas orthogonaies , quae fi pro (latu ini- tiali punfti cuiuspiam fuerint X, Y, Z, pro ftatu vero mutato eiusdem pundi ftatuantur a' , / , 2, exiflentibus coordinatis pro pundo illo in cenrro corporis conrtituti f 1 g •> h y adhibitisque formulis traditis nancifcuntur pro x -, y ^ z valores , qui , quia nimis funt intricati ita abbreuiantur , \t fit

.r =/4- F X -}- F' Y -4- F" Z

j =g 4- G X -j- G' Y -h G" Z

s-i^ + HX-i-H'Y-i- H" Z

Tbi coefficientes F , G , H etc. ab angulo conuer- fionis aliisque arcubus per fphaerica ingreflis pen- dent , et ita comparati (unt , vt fit

FF+GG+HH = i FF'+GG'+HH'zzo

F'F'+G'G'+H'H'=i et F'F"+G'G"+H'H"^o F^i- "+ G"G"+H"H"- I F F"+G G"+H H"-o

Quo autem formulae generalcs pro motu cor- porum rigidorum a viribus quibuscunque follicitato- rum tradantur, Vir 111. corpus quodcunque rigidum conflderat , cuius fingulorum elementorum loca pro ftatu initiaii per ternas coordinatas X , Y , Z de- terminentur ; et denotante M mafllim totius corpo- ris , eius elemenium quodcunque characftere d /M defignatur, cuius elementi locus deinceps ta<fta trans- latione poft temporis interuallum t per ternas coor-

dinatas

it "^^.^ ( o ) ^n^"

dinatas x , y , z definitur , quas igitur vt funAio- nes tcmporis fptdari oportet , dum priores X, Y, Z tantuni ad llatum initialem refcruntur. Quo igiiur ex priorum huius duplicis generis quantitatum va- riabilitate tam motus elementi </ M , quam eius ac- cclcratio determinari queat , 111. Audor motum fe- cundum ternas dirediones fixas fe inuicem normali* ter dccuflTentes reloluit , vnde tam ternae elementi celeritates quam accelcrationes fecundum easdem di- rc(ftioncs dcfiniuntur. Porro omnes vircs , quibus corpus hoc temporc foUicitatur etiam fccundum ter- nas illas dirediones refoluendo , fi ex omnibus con- iundis vires oriantur P, Q, R, quia iftae vires fummis omnium virium acceieratricium aequari de- bent , inde tres nafcuntur aequationcs integrales , ia quibus tempus t vt conftans fpedatur , etiamfi in formulis differentialibus pro celeritatibus et accelera- tionibus id folum pro variabili fit habitum. Dcinde cum omnia virium acceleratricium rriomcnta refpedu ternorum axium fimul fumta aequalia rcddi dtbcant momentis ex viribus (ollicitantibus rcfpcdu axium dedudis , inde itcrum tres aequationes oriuntur , in quibus fblae quantitntcs X , Y , Z funt variabiles, Formulae autem integrales in bi(ce fcx aequationi- bus occurrentes , quae tantum ad (\jtum corporis initialcm referuntur per totam corporis n affam funt exteiidcndae , vnde certae conflantes a figura et in- dcle corporis pcndentes in calculum ingrediuntur , quibus introdu(flis nullae allae variabiles adfunt , nifi quae a icmpore t pendcant. Cum auiera fada fub-

(litutione

••>

( o ) |?^<« 31

ftltutlone formuke admodum prolixae prodierint , eas concinniores reddere lll. Audori vifum eft,quo4 fit , ternis axibus in ipfis axibus corporis principali- bus conflituendo , pundtoque illo pro lubitu affumto in ipfo centro inertiae collocando; quo faclo quidem fbrmulae minus perplexac oriuntur , ex quibu* ta- men in genere pro viribus fullicitantibus plus coa- cluderc non licet.

Accedit denique applicatio formularum ad ca- fum , quo corpus nuUis plane viribus follicitatur , ■vbi folutio ad tres aequationes difiercntiales primi grudus reducitur. Verum cum in iis quatuor varia- biles nimis inter fe fint permixtae, quam vt quid- quam generaliter inde concludi poflit , cafus fpecia- lior confideratur , quo corpus circa axem fixum gyratur , quo motu corpus gyrari poteft , fi axis gyrationis in aliquem axem principaiem incidat ; quo ergo cafu angulus conuerfionis tempori fit pro- portionalis, vti per fe efl manifeftum. Vcrum etiam in hoc cafu fimpliciffimo plures difficultates mora;ii faceffunt , ita vt in genere euoiutionL*m multo mi* nus tentare liceat , etiamfi nullum fit dubium, quin etiam in gcncre fuccedere debeat. Hoc igitur argu- mentum, attentione Geomctrarum digiiifTimuai, quod forfan certis artificiis analyticis adliuc latentibus ali- quando fcliciter abfolucre licet, aliis 111. Eukrus re- linquit maximeque commendat.

Tom.XX.Nou.Comm. e \\\\.

iir.

Theoremata nonnulla generalia de' ^, ^translatione corponim rigidorum.

Auftore A. I. Lexell pag. 2^9.

Cum Illuflr. Eiileyiif iii binis Diffcrtntionibus modo conimeinoratis docirinam dc translationc corpo- rum rigidorum expofuilTct, inter alia Iianc infignemt detexit proprietatem , quod pro quncunque triinsla"- tione corporis rigidi , fit linea quaedam rc<fla , quae fitum teueat parnllclum ei , quem ab initio motusi habuit ; fimulque' animaduertit ,. \it hoc locumr ha-> baat. exprcflioncms quandam! Analyttcam nihiioj ae-' quiri debere. Q^iiamuis- igitur. nullum fupcreflct du- bium , quin ifta exprcfllo. reuera nihilo fit aequalis, quippe quum facillima demonftratione euinci polfit , in omni motu corporis gyratorio, dari rectam,quae prorfus eundem fitum teneat , ac in flatu iniciali ; tamen id adhuc dcfidcrabatur , vt indepedcntcr ab^ liac proprietate demonflrari poflet , ifiam exprefllo- nem Anaiyticam cuanefccre ; quum igitur Audor huius Diflertationis eiusmodi dcmonflrationem dc- texifl^ct , eam hcic cxponendam ccnfuit, adicdis ta- men aliis de transhitione corporum meditationibus , quae infcruire potcrunt ad ea, quac lliuflr. Eu/cruf docucrat , confirmanda. Pracmilfo igitur primum Theorcmate gcncrah , quo ex datis trunblationibus ,

trium

( o ) l?2- 31

trium pund^orum fphaerne quadrantibus inter fe di- flantium , translatio alius cuiuscunquc puncfti io ea- dem fupcrficic , exprimi pcflit ; oUcndit Aii(flor hu- ius PifTcrtationis quod fi haec translatio cuancfcat , feu pun(ftnm illud eundcm locum obtineat ac iii (latu initiali , irtam expreiiionem Analyticam llludr. Eukri prtuiire , quac in omni translatione corporis , nihilo acquari di-bct. Ante quam vero Audor no- ftcr id dcmonllrnre furcipiac , quod haec formuU Analytica fempcr euanefcere debeat , \tcunque cor- pus lupponatur motum , primum oftendendum fibi prc^pofuit , quomcdo formulae Theorematis iftius -gencralis adplicandac fint, ad quanicunque translatio- nem puii<ni alicuins in corpore rij^ido expritncndam. Totum autem hoc negotium eo reducitur, \t duplex motus quohaec translatio abfoluitur , confideretur ; inotus oimirum progrefliuus quo fingulae corporis particulae fccundum diredliones inuicem parallelas fe- runtur et motns gyr.uoiins, qno corpus circa pun- dum quoddam fixum gyrari fupponitur. Cognito igitur motu progreniuo , qui omnibus corporis par- 'ticulis communis efi , motus gyratorius per formu- Jas. ex Theoremate fupra commcmorato dcducendas, fjcile cxprimetur. His abfolutis AucT:or huius Dif- fertationis infignem ifiam proprict.itcm. fibi demon- firandam propofuit, quod in omni conuerfionc fphae- rae circa ccntrum , dctur pundum in eius fupcrfi- ■cie , quod poft conucrfioncm in eodeni fit fi^tU , ac in fiatu initiali erat. Tum vero oftcndit , quomodo ■inu^niatur i-flud pundum cx datis translationibus

e 1 triuai

trium pundorum , quadrant bus inter fe diftantium. Praemiffis itaque his meditationibus , Tlieorema irtud cui praecipue iieic intentus eft , adgreditur j cuius quidem duplicem heic adfcrt demonnrationem, prio- rem Geometricam , alteram Analyticam magis, quae tamen pofterior non prorlus rite fibi conftare poteft, nifi ex contemplatione figurae nonnulla , quae in ipfa defiderari pofTent , fuppleantur. His vero de- inonftrationibus nonnullas egregias proprietates, quae pundum iftud al fitum initialem rediens refpiciunr, cxplicandas cenfuit; tumque demum oftendit quo rr.odo ex data diftantia huiiis pundi a tribus pun- «flis Sphaerae , quadrantibus inter fe diflantibus , et angulo quo conuerfio fphaerae fa<fla eft , per formu- las latis concinnas exprimatur tranflatio cuiiiscunque pundli in fuperficie fphaerae , quarum formularura ad translationem quamcunque corporum rigidorum' facilis cft applicaiio.

IV.

Regula faciliSj pro diiudicanda firmi-

jnitate pontis aliusue corporis fimilis,

ex cognita firmitate moduli.

Auftore L. Eulero pag. r/i.

In hac diflcrtatione 111. Euleio propofitum eft in- vcfligare , quonam firmitatis gradu modulus pon- tis aliusue corporis fimilis praeditus cffe debcat , Yt

ipfc

ipfe pons ad fimilitudinem moduli conf^i^us fatis rob)ris fit hnbiturus, quam inueftigationem ha^flenus, ni fjllor, intjdam maximi momenti efle minus aey;re fatebcris , cum plerique in conftciendis talibus ma- chiiiis opinions du;fli fuerint , pontem ad ^militu- dinem moduli exlUucflum fatis roboris effe habitu- rum , fi modo modulus fimile onus gcftare vaieat, quale ipfe pons fullinere debet , cui autem opinioni 111. diffvrtationis Ausflor ftatim in limine obkrua- tionem opponit, quod talis pons certe non ad quan- tumuis magnam diftantiam extendi queat, quantum- vis etiam roboris modulo conciliaueris , quocirca pabm eft , firmitatem pontis neutiquam a firmitate moduli fecuudum principium fimilitudinis definiri pofle.

Duplex autem virium genus , alterum fradio- nis alterum diuulfionis , hic accurate perpendendum efTc iudicat Vir 111. quorum prius potiliimum lo- cum habet, fi trabcs adhibcnntur, quae fracflioni refi- fiere debeant ^ polierius vero genus locum habet , fi funes adhibeantur , quorum tenacitate tota machina ianitatur. lam cum vis , quam funis fiiflinere va- let, a tenacitatc filorum, ex quibus contortus efl:, pen- deat , fi ea in variis funibus eadem fit , patet , fir- mitatem crjfiitiei proportionalem efiTe dvbsre. Dabi- tur er^o certa longitudo , quae in craflitiem du<fta pro menfura eius vis , quam funis fuftinere valet , haberi potcrt ; quae longitudo ea erit , q Kim funis habere debet , vt , fi verticaliter fuf^endatur , a proprio fuo pondere difrumpatur, His obfjruatis

6 3 liL

111. Aucflor breuiter in cauflam cohaefionis corpo-

rum inquirit , quam iii vi elaftica Aetheris potius

i]uam in prefllone Atmofpherae quaerendam eflc de-

•clarat , quia , ft a folo pondere Atmofphaerae pen-

-deret , de quo notum eft , duo marmora \el alia

•corpora polita , inter quae nullus acr locum inue-

niat , ad le inuicem apprimi vi altitudiiii Barome-

tri refpondente , pro craliitie cc pondus coiumnae

Mcrcurii cuius bafis — c c ct aliitudo z=. k cohae-

fionem fuperaret. Vnde fi « : i exprimat ratiqnem

grauitatis mercurii et materiae funis , foret Longi-

itudo illa maxima — «/: — aSdig. cum tamcn fiue

dubio omnes fere funes maius pondus luftinerc va-

leant.

His autem circa iflam longitudincm , de qua notionem abfolutam habuiffe pro praefcnti inllituto .fupcrfluum foret , pracmiflis , 111. Audor iplum ar- gumcntum propofitum aggreditur ; at confidcratis duobus fuuibus ex eadcm materia confc(ftis fimili- qne modo tenfis , maior ad diflnntiam A > minor vero ad diftantiam a, fi V et v dcnotcnt vires, qu.is maior minorque funis fuflincre vakat , quin rumpatur , hac vires duabus partibus conflare liint ccnfcndac , quarum altcra continct pondus funis , al- tera vcro onus , quod gcflare valet. Vndc fi p fuerit pondus m.inoris fiuiis et P pondus m:iioris ; tum vcro ^ctQfint oncra, quae finc ruptione gcllare vakant , erit V — P 4- Q ct v — p ~{- q. Quod fi igiiur pcr expcrimcnta fucrit exploraium , quantum onus q minor fuuis gcflace vakat quin rumpatur ,

inde

inde flatim onus a mniorc fuflentatum Q definiri poterit , pro quo autcm , nc in negatiuum abeat , requiritur vt fit q^^^p. Ex qua limitationc ftatim patet , machinam ad fimilitudincm moduli non ad quamuis magnitudincm augeri poffe , quia maximam longitudinem A ~ ^-^ « transgrediendo maior funis non folum nuHum onus fuflentare va- leret, feJ adeo proprio fuo pondcre diue41eretur.

Hoc cafu expedito 111. Audor in refiflentiam inquirit , quam trabcs aliaue corpora rigida ruptioni opponunt , quo (ummo cum acumine perado , fi flabiliatur longitudo pontis z=A, moduli zz a, pon- dus moduli z:p, pontis = P, 9 et Q vero defignent onera a modulo et ponte ipfo fuftentanda, pcr prin- cipia iis fimilia , quibus antca pro funibus vfus eft , ad hiHic perducitur aequationem valorem oneris Q_ cxprimentem : Q^— n n {p -{' q— np) ,. vbi «: i rationem dimenfionum pontis et moduli exprimit. Ex hac autcm acquatione confequitur conditio ^ >> ( « — I )p, quem limitem onus a modulo gc- (latum co magis fupcret neccffc eft , quo maiora funt onera, quibus ipfe pons fu(lentandis par efle de- bet. Ceterum 111. Audlor obferuar, fi pons ad per- fedlam fimilitudinem cx(\rudus non (iitis roboris e^Tet habiturus, huic defedui remedium afFerri poffe, dum cra^Titics trabium vltra rationem i:n augcatur, quem in finem tabulam anncdendam cenfuit , ex qua pateat , quotics haec ratio augcri debeat , vt ponti fatis roboris concilietur.

Deni-

4-» -»5^.^ (0)1?^.

Deniquc quo pons impetuofitatl ventorum re- fiftere queat , tantum opus eft , vt moJulus ei refi- ftat , quaidoquidem impulfio venti fupcrficiei in quam agit e(l proportionalis ; quam rationem etiam firmitas fiquitur , qua machina veiito refiftit. Si autem modulus vento non fatis refiftat , huic de- fedui facile occurritur , dnm latitudo trabium au- getur.

V.

De gemina methodo tam aequilibrium

quam motum corporum flexibilium

determinandi et vtriusque egre-

gio confenfu.

Au£lore L. Eulero pag. 285.

Mcthodi diuerlae , quibas vtuntur Geometrae in icloluendii praecipue quacrtionibus mcchanicis, faepcnumero controucrfiis anfam pracbiiere , quae deinceps , rebus debita attcntione pcrpenfis , cefTinte diuerfitate ceflTarunr. Hac cadcm forfan (brte ob- noxia fuiffet Theoria aequihbrii ct motus corpo- rum flexibilium , nifi diucrfae methodi , de qui- bus hic fermo cft , vni codcmquc Aucftori dcbcren- tur. Mcthodum fcilicet 'vniuerialcm figuram inuc- niendi , quam fihim Cuc perfede flexile fiue vtcun- que elaflicum induerc debet , vt in aequilibrio ma-

ncac t

ueat , iam prldem tradiderat 111. huius diflTertationis Audor in Comment. prior. Tomo 111 , quae au- tem mcthodus do»flrina momentorum innitebatur. Cum igitur deinceps in Comment. nouor. Tomo XV. idem argumentum alia methodo ex principio lon- gilTime diuerfo tenfionum , qua fingula fili elementa afficiuntur , petita , pcrfrad;afllt ; folutio a priori tantopere diucrfa prodiit , vt prima fronte vti nul- lum vel leuem faltem confenlum inter eas perfpicere licuerit. Ne igitur haec diuerfitas , quod ipfi 111. Aucflori accidit , ledori fcrupiilum moueat , in hac difiertatione eeregium confenfum intcr binas illas fo- lutiones ab ipfo olim tradicas ex diuerfifilmis licct principiis petitas demondrare fecum conftituit.

Propofita igitur figura fili cuiuscunquc in ftatu aequilibrii, fi more folito ad axem fixum referatur , eiusque elemento duac vires applicatae concipianiur , verticalis fciticet et horizontalis ; tum vero iis ad- iungantur vires finitae , qujbus filum vel in altero vcl in vtroquc termino follicitatur , ftatus quaeftio- nis eo reducitur , vt figura dettrminetur , ad quam filum (e componat , dum in aequilibrio conquiefcet ; vbi pcrfpicuitatis gratia omnia in eodem plano fita concipiuatur. Praemiffo autem hoc quaeftionis ftatu 111. Audor vtramque folutionem tradit , quarum prior in eo confift;t , vt oninium viriuai elementa- rium , quae per totum arcum funt applicatae mo- menta inueniantur , qnae in vnam fummam colltda et elafticitati aequata acquationem praebent fi^uram Tom.XX. Nou.Comm. .f fili

N

fili feu laminae clafticae exhibentcm, Altera vero folutio ex hnc confidcratiGne eft petita , quod , quia l.Hiiina clalHca ob vires ipfi applicatas in flatu quodam vioiento tenetur , fi portio eius quacdam icl(.caur , altera portio (ubito aiiam figuram fit re- ceptuni. Inquirit enim Vir UL in eas vircs , qua« pundo illo rdedionis applicatae laminam refedione facfla in codcm flatu retinere vakant , ad quod ne- GtfiTario duas vires requiri declarat , alteram fecui;- du.n tangentein trahens , altcram vcro normalcm Gum vi cladica in acquilibrio verrantcm.. Quibus adhib tis quatuor nanciicuiitur aequationcs iis quae in Tonio XV. Comment. cxtant fiiniles, a priorc autera folutione prorfus diuerfae..

Quo igitur pulcherrimus binoriim folutlonum tantopcre a ie inuiccm diuerforum confenfus nulli dubio rclmquatur , IM. Audor cius demonnraiioncni hic fifiit Gomplctam , cx qiia luculcntcr patcrcit , priorcm methodum cum pofieriore pr.orfus conuenire, Vbi autem probe obferuandum tfl , ex priore me- thodo neque tenfioncm ncquc vires normales ad cur- TiUuram cuiusque elcmenti produccndam requifitas cognofci , dum e contrario in polieriore folutione non folum figura laminae exhibeatur , fcd 'etiam flatus violentus fingulorum laminae clemcntorum dcclarctur. Hanc demonf^rationcm fubfcquuntur qua- tuor eleganiiflima theoremata circa egregiam rcla- tioiiem intcr vircs clementnres ct tangentialcs, quam jpolkrior methodus fuppeditaucrat j quibus adieda clt

dcuiquc

deniqne applicatio ad laminas elafticas in ftatu na- turali iam incuruatas , ad quas Vir 111. ea quae de ftatu aeqaiiibrii \iolento determinauerat traasferendi iudicauit.

VL

De preflione fiinlum tenlbrum in cor- pora fubiefta eorumque motu a fri- ftione impedito; vbi praefertim me- thodus traditur^ motum corporum tam perfefte flexibilium , quam vtcunque elafl;icorum non in eodem plano fitorum determinandi.

Au(£lore L. Eulero pag. 504.

Per ea quae in praeccdentc diflertationc circa Theori- am aeqnilibrii et motus corporum flexibiiium ex principiis tam Staticae quam Mechanicae docuerat Vir 111. lata nobis via aperta eft ad folutiones omnium quaeflionum , quae tam fuper preflione quam motu funium cylindro circumplicatorum proponi poffunt, perueniendi. Paflim quidem hoc argumentum iam a Gcometris fiut pertradatum , vcrum ob metho- dos eorum minus dircdas flmulque nimis rcftridas ct fpeciaks , folutioncm dirciflam magis latiusque patentem iurc defideras. Talem igitur hic fiftit Vir

f 2 111.

.4.4- -^3^.^ ( o ) |"4<"

111 ex theoria generali acquilibrii et motus corpo- ruin fiue p^rfecflc fltxibilum Uue vtcunque elaltico- ru^n petitam ; quam thcunam in praeccdente Com- ment. Tomo paj?. 350 111. Auclor , dc nunu tur- bmatorio chordarum miificarum agcns , expolucrat , hic autem , ne opus fit principia aUunde conqui- rere m iimine brcuiter repctic , dcinde tires inue- ftigdt , qnibus funis cyliMdro circumducflus fuperfi- ciem fubicdam in fingulis puntftis premir. jueter- minatis» autem omnibus , quae Uxum habent, quando funis omni eladicitate ei grauitate ert dcfiitutus , Vir 111. in motum funis fuper cylindro fixo inqui- rit , quattnus ille a fridio.^e impeditur, cuius ef- fcclus in co confiiht , vt motus funis impediatur, ctiamfi a viribus vtnnque inaequaliter tendentibus foUicitetur. Cum autcm hae inuefiigationes eius fint uaturae , vt finc figurib calculisque annlyticis rccenleri nequeant , Mathematum cultores , quorum animi ad hoc maximi momenti argumentum pro- pcnJent , ad ipfum Au<florcm abkgamus.

VII.

VJI.

De preffione funiLim tenfbrum in cor-

pora (iibie£la eorumque motu a fri6lio-

ne impedito. Dillertatio altera.

Au£i:ore L. Eulero pag. ;^2/.

Hic 111. Eukrus methodum tradit fimpliciorem magisque diredam hoc infigne problema tra- dundi. Cum enim (olntio in praecedente diflcrtatione expofita ex tlieoria vniuerlaliflima motus corporum tam perfe(fle fl.xibilium quam vtcunque elaflicorum dcduda ad formulas vaUe iatricatas perduxiflet, quae autem deinceps elegantillimam rcdudioiem paflae erant , flatmj Viro 11!, vifuin efl , aliam dari ■viam magis naturalem magisque diredam , cuius ope fine tantis amba^ibus (copum optatum attingere liceat. Qiicm in finem theoriam illam prius ad hanc quae- fiionem propius accommodandam quam folutionem inde deducendam efle iudicat. Conflituto autem inde theorcmate haud late patente, eoque ex ipfis aequi- librii principiis demonflrato, quac antea demum pofl plures anfradus obiinebantur conclufiones, hic la- bore haud operofo nancifcuntur. Quin etiarn hinc motus , quo funis fuper cylindro protrahitur , (i difcrimen inter binas vires ei applicatas maior fuerir, quam vt aequilibrium confiflcre poflir , accuratius detcrminare licet , quam ante fa(^um fuerat , dum

f 3 fri(^iO'

fridioncm durnnte motii eandem mancre aflumeba- tur , quae pro aequilibrio erat inuenta, Confultum enim ibi non videbatur Iblutionem direcflam cx priii- cipio generali deducere, quandoquidem irta inuelUga- tio in calculos maxime intricatos illexiflct, dum hic theoremate illo ftabilito folutio direda quafi flne labore elicitur , quae adeo facili negocio ad cafum transfertur , quo funis vnam piuresue integras reuo- lutiones circa cylindrum compleuerit. Hx omnibus his fit , vt praefens methodus preflionem funium determinandi concinnitate et elegantia fua atientione Geometrarum maxime digna fit cenfenda.

VIII.

De Viribus Remorum nouae fpeciei ^

eorumque comparatione cum remis

ordinariis.

Au£lore W. L. Krafft pag. -4;^.

Remorum vfitatorum thcoria , neutiqu;im rinc obuia , dudum Ccleberrimorum Gcomctrarum Eougeri et Eukri profunda indagine efl cxculta. In- primis autem vtilifl^imo huic argumento infignc ac- ceflU incrementu'^, cum rcgia Acad. Scicnt. Parifina ci , qui n.uiigia , praednim maicira , nullo vento- rum auxilio, propellcrdi modnm detcgcret maximc commodum , piiblicuin ad aiinum 175 3 propofniflbt praemium. Palmam ccrtaminis , grauifllmo Acade-

miac

^¥.i ( o ) |c>. 47

miac iudicio , 111. Dan. BermuUi retulit, noua re- n-.orum (pccie in medium prolata , quae remis v(i- tatis hnnd fimplici titulo praeferenda vidctur. Ne- c]uc tamcn inde ab illo tempore , egrcgium hoe in- ventum , plena optati fucceflrns fiducia ab llluftri iiiucntore commcndatum, ad exameu aut vfum pra- tticum conClat cfle rcuocatum.

Motus igitur rei vtihtate, theoriam nouorum horum remorum plene euoluere eflTedusque inde rperandos ex primis mechanicae et anaiyfeos principiis deducere conftituit huius , quam tradimus , diflTer- tationis Auclor. Pracmifla remorum horum di- ftinda defcripticjne, vires inucftigantux , quibus ab atflioi.e horum remorum nauis in curfii fuo diredo reuera propulfjbitur ; vnde principia mechanica duas fuppcdicjnt aequationes differentiales , ex quarum re- (olutione , datis remigum numero et viribiis vna cuni celeritate manubrii , fuperficie pahTiuiarum et refifttiuia nauis abfoluta, ipfa nauis celeritas definitur.

Adplicat Audor inuentas formulas ad cafum ab 111. Bernoiiluo examinatum. Nauis fcilicet pri- niac Glaffis commode quinquaginta eiusmodi remis inftrui poteft ,. quorum fingulis decem remiges fint adplicati et palmula annexa , cuius fupcrficies duo- decim pedum quadratorum , quibus pofitis colligitur nauis ccleriras =:; 4, 83. ped. rhen. tempore vnius miiiuti fccundi ; prorlus , vti III. BernouUi ex prin- cipiis pbne diuerfis conclufit. Subiunyit Audor ta- bulam gcncralem , quae pro^ qualibet refiftentia na- vis abloluia et remigum uumero velocitatem nauis

opc

ope nouorum horum remorum propulfae indicct , adiunda velocitate ope remorum ordinariorum ipfi imprimenda. Ita v. c fi duae fint naues primae claffis , 600 remis vna Bcrnoullianis , akcra ordina- riis inftrudlae , fique his duabus nauibus propofitum fit fpatium percurrendum vnius milliaiis , prior hanc \iam tempore i**. 20' , altera aucem tempore a^ &' abroluet.

DilTertatione hac iam typis impreffa , Aucflor cffedlus horum remorum ipfis expenmcntis explo- rare eft annifus , cymba ordinaria duobus eiusmodi remis a fe inrtrudla inlhtiuis , de quorum fucceflU ilio tempore plura (umus expofituri.

THYSICA.

P H Y S I C A.

I.

De Foramine ouali ^ eiiisqiie vfu iri dirigcndo motu fanguinis. Obfer- ^ vationes nouae.

Auaore C. F. Wolff pag. 55/.

Pr)(l(]uam , fyncmnds Y:iforam rangumeorum' tft', (Uias modo dcttxerat Fabriciuf ab Ac^APEN- DENTE , valuuljiiim in venis Gognitionc riiliirudas, HarVAEVS circulationem ftnguinis rtabiliuerat ^ iti foctu , cui circuhitio diuerCa e(t , magnus illc Vir cum GalENO (tatuit , fanguineir» , a corportS ex- tremis in v^nas c.uias reditum , cx his porro colligi omnem in finu (Jcxtro cordis. Inde partem eius nltcram in dextruai ventriculum, alicram vero- efus partcm per foraincn ouale , quod in(culptum efllt fcpto linuum, tranllre in finum fini(trufr> • vnde in vcntriculnm finillrum et aortam vlrcrius pergcret , et pcr totum corpus , vnde vencrat , denuo- diftri- buerctur , intadis pulinonibus.

Hanc fententiam , vti vniuerfam fff adultt)

circulationem , omnes , ncmine excepto , ficile ad-

optarunt ; donec tandem Cehberwnui Mery , R^-

giae Academiae Scieiuiarum Parifinue Membrum , Vir

Tom.XX.Nou.Comm. g iDge-.

~\

$Q --i^.i ( o ) in^"

ingeniofilfirnus , er qui nnilta pulchcrrima fcripfir, fan,miini iii foctii ittr prae(cribcrct , Hariiaenno iti- neri e ciametro o; p.ilitudT ; cuni (■inguineni , non ex dtxtro in finidruni , fed contra cx boc in illum liiuirn per foramen ouale traufirc doccret. Pluri- nuim contra hanc opinionem , multum pro cadem a Ccleberrimh \'iris , eiusdem Regiae Academlae Menibris, DvVERNEIO, RoVHAVTO, ipfoque Fi?- nerabili in anatouua WlNSLOVVQ vt aliis fcriptum fuit. DvVERNElVS , flrenuus anatomicus , contra MeRYVAI, RovhavtvS in caufa principali pro eodem pugnauir. M^INSLOVVVS propriam fenteii- tiam, qua aduerlarios tonciiiaret, propofuit ; docert- do , ftnguinem ire promifcue ex finii \froquc in finum \trumque et commifccri propric tantum- iriodo, Hae lites diu continuauemnr , ct fuo iam , quo fcribebat , tcmporc lllii/lris WlNSLOWVS, an- nos fere viginti illas protraclas Juilie , quaeri-batur. Regia Acadciiiia ipfii , iudicium fercndo , partcs MeRYI fouir, Deniquc omnes fcr.fim anatomici et phyfiologi in antiquam GalenI et Harvaej icntentiam redicrunt , qua , etuim ad nollrum tem- pu& vsquc, (anguis ex finu dextro in finillrum tran- fire creditur. ( *)

Tam vero hoc , quod Galenvs defcripfir , quod HarvAEVS adoptauit , vcrum itct languniis

efle

( • j Coiifer.itiir Summi in anatomia Viri , Pfri/^uffr/f Liberi Baronis dt HALi.ER, Liemeiitor. riiyfiol. Tomus VIII.

cfTe non po(re,vti non magis illud,quod Meryvs , et illud , qiiod W^INSLOWVS propoiuit , et lan^ui- nem omnino nequc ex dcxtro in rinillruiii , neque ex liniliro in dextrum finum pcr foramen oualc ire polfe , id vel fola cognolcas dcmondratione §phi 37 huius diflertationis , quam , cum brcuis acque ac plani fit , non dubitamus hic rcpetere. " Motus fi- nuum cordis fynchronus eft , et , dum vniis (ynolen agit , etiam aker eandem exrcet , dunique vnus in diallolc elt , etiam altcr in cndcm vcrfitur. Qno ergo temporc vis , fanguinom ex vno in nlterum finum tranfire ? An lylloles ? Tum finus vterque aeque fe contrahit , et proprium , quo rcpletus e(l , fanguinem exprimit. Non poteft ergo fimul fan- guinein alienum recipere. An diadoles ? H(;c tem- pore vterque finus dilatatur , et languinem . vnde- cunque aducnerit , alicnum , recipit» Non poteft ers^o eodcm hoc tcmpore fuum , queni continet , in alt«.rnm cxpnmere. Ergo nullo tempore (anguis ex \no in alterum finum traduci potcft. „ Scd pliira huius rei ar^umenta , fi plus quain euidus efte cu- pis , lcgas §. §. 35. 35. 37. 38. 39-

No/Iro ergo Ait&ori hiec quidem partxula cir- culationis fanguinis in foetu rcferuata fuit. Hic enim , dc veritate (ententiae Haruaeianae minime dubitans , et alias ob caufas inquirendo cor infantis recens nati , ftruifturam , inuenit , organi huius cir- cuIation'S li)ngc aliam effe , quam vt vulgo animo concipitur ( §. 3.). Detcifla hac ftrutflura , nihil

g z facilius

f» ->2^i ( O ) |'g?<"

facilius fuit , qiiam \crum itcr inJicare , quod fan- guis in foetu facerct. Organum tr^o pumwiiy deinde et moiwn expiicuit fanguinis.

Vt autem , quo cocpimus , ordine pcrgamus enarrare, qiui riUione ad illam rem perucncrit ; dif- fecfto eo , quo par c(l , modo , at quo communitcr fecari non (olet , cordc inturiis modo nati ; non pa- rum mirabaiur continuo, foramen omnino aliud efle, quod in dextro , ct aluid , quod in fin llro l.nu patet- lllud ab arcn , qnem irtiimum VlEVSSENH \ocant , et valuuia EvSTACHII \ lioc r.b arcu co- dem et valuula foraminis cualia fi)rman ( §. 4. ). Videbat facile , nifi viiluuiae intcr le c(.hacrerent > quod tamcn contra omnem verifimilitudinem erat , nunquam fieri poflc , vt finus iiiter le comnuni- cent ( §. 5. ). Examinatis rcbus gnauiter , diflcifta dciiique valuiila fcraminis oualis , vt, quid , fi quid forte , intcreflet > oculis patcat , manifcllo apparuit : Sinus inter fe minime communicare , fcd vtnque finui intcrpofitam efie vcnam cauam in^eriorcm, Foramcn , quod in ccxtro finu appartt , onficium efTo liuius vcnae cauae inttrioris, quo in hunc fmuin inferitur ; illud , quod in finiliro patct , quod pro- prie foramen ouale vocatur , finiilitcr aliud eiusdeni \enae cauae onficium efle , quo in hunc finum fi- niflrum apcritur \ adcoque finum vtrumque cu;n vena caua quidem inftriori , at minimc inter fe communicare ( §. 6. ).

Dctracto

->m ( 0 ) ^fI^- . ,5-3

Detrnclo lioc velamine, qiio vcrci liariim par- tiiim fabrica tccl:.i tiicrat ; et oculis niiiK v.iiau no- \is rem intiicndo , vidcbat quoque , vcnam caiiam infcriorcm , dum externe mo.lo confideriiritur , ad- fcendcndo miniine loli dextro , led \Lrique , iiaui , et mngis potius fmiltro , quam dextro , relpondcrc i vt maiori lui p.irte omni.io in liniilrum , minor; in dextrum , fe infcrat. ( §. 7. 8.) Vitulornm de- inde , et aliorum aniiralium recens natorum corda confcrcndo eaJcm ■vbique muenit. Vbiqnc reperit , foran en oaalc nihil aliud elk , quam orilicium liaiflrum venae cauae interioris , quo fe in fini- rtrum linum aperiebat, vti dextro in dcxtrum. Ht in vitulo quidcm , quae fimplicia tantum in fociu humano onticia erant , vcros , licet breucs , ramos effe , in quos vena fe diuidcrct , et quorum dcxtro in dextrum , finiliro , qui foramen ouale diclus fue- rat, in finirtrum finum infereretur. (§.23.) Atque Jiacc ergo \era foraminis oualis natura c(l , quam tamdiu diirimulauerit. Qiiod fingulari iUo noiTiine foraniinis oualis falutatum fuit , nihil aliud ert , quim orific.wn fmflrwn veiias canac inferioris \ quem- admcdum innumera aha venarum aeque ac arte- riarum in corpore humano orificia dantur.

Nunc , quo itinere fanguis progrcdiatur , quis eft , qui non videt ? ( Nam faciUs negotii r;m efTe putamus, hoc iter definire, quanuo viae notae (unt ; vt contra nihil , quam iilud latentibu<> viis tentarc , difRcilius et inanius cfTc , magiiura HakV4.EI ct

g 3 Meryi

S4- *ȴ.% ( o )

INrERYl exemplum docuit. ) Vena cnua inferior ciuobus orificiis , altero in dtxtrum , ultero in fini- flrum finum ajreritur. Hrgo (nnguis cx vena caua infcriori partim in dextrum finum , per onficium eius dextrum , partim in finiftrum , per eius orifi- cium finifirum , progreditur. Qiiae portio (anguinis in dexirum fiinim Tenit , ea , C( niunda cuni fan- guine vtnae cauac (iiper.oris , rc(fla inde tnmfit in \cntricu!um cordis dcxtrum. Nec guttula c]uidein huius innguinis , qui femel finum dcxtrum intrauit , indc rurfum in fini(kum redire potcfi. ( §§. cit. 35. etc.) Quae vero portio (inguinis ex vena caua infcriori per eius onficiurn finifirum -in finum finifirum pcr- \enit , ea haec efi , c]ua pulmoncs libcrantur , c]uae a finu dextro , a vcntriculo dcxtro , ct conicqucn- ter etiam a pulmonibus, auermur ; qui , refpiratione carentes , eair» iransmittcre non potuifknt. l-rgo haec portio , in finu finifiro coniunda cum fangnine vcnarum pulmonalium, reda vcntriculum finifirum, et porro aortam , adit ; quo dcnun pcr totum cor- pus d (Iribuatur , inta(5lis puJmonibus. {§. 34.. 40. 41. 42. 43. 44. ).

Neque vero, vt fiicilc vnusquisque videt, hoc nofirum oii/icium /iuijlrum i\'nae cauae inferioris illa obie(flio tangit, quae , vt fupra dcmonfirauimus , /0- rawen ouaie eufrcit. \'enac caune cnim , tam (upe- rior , quam inferior , cum finubus cordis motum , \t conlhit , non (ynchronum, fcd altcmuiuum, ha- bcnt ; vt va(;i ncccffario (c crga fc inuiccm habcrc

oportct ,

opnrtot , qiioruni altera in altcra fuum {iinguinem excutcre vclis. Dum vena caua inferior ergo fyfto- len cxercet ; finus in diaftole Cunt , et langumem rccipiunt, quem illa exprinut. Dum vena vcro iti diallole cil , nouumque fibi ianguinem ex ramis luis coUigit; finus interim lyflolen fuam agunt , rcce- ptum^jue Dnguinem in ventriculos corJis cxcutiunCr

Haec funt primaria huius differtationis mo'

menta. Sed multa praeterea alia in eadem conti-

nentur , quorum tamen cognitio folis illis anatomi-

cis ad palatum efTe potcrity qui finguli quaeuis,

quae ad noftrum attinent corplis, quam minutifUme

fcire cupiunr. Ea nunc breuibus verbis ordine re-

cenrcbimus, PofijaAm idea generalis de vera fic

didti foraminis- oualis flrudtiira eo ,, quo fupra enar-

jauimus , modo expofita ei\ f venae cauae inferio-

ris , cuius nonnifi hirtoriam tota haec differtatio

propric refert , completa defcriptio traditur ; impri-

niis qua ratione duo lua orificia ope vahiularuni

EvSTACHII tt yinus' /ifi./lri , ( nam ita valuulamt

furaminis oualis Ai.<fi:or merito appellat , ) et ope

arcus, illis interpofiu , producat. (§.9. to. ii. 12.)

Deinde et corda adultorum hominum, et embryo-

nis trimeftris corculum, quae fingula fequentibus

pofiea annis diHgenter confulcre non negledum fuit y

conferuntur ; quo mutationes appareant , quae variis

fub vitae perioJis , ( nam perpetuo hae partcs mu-

tantur, ) duobus orificiis venae cauae inferioris con-

tinguiit. ( §. 13. 14. 15. i(J. 17. i8. ip. 20. )

Adiua-

Adiun^-tiirque fingularis aunotatio de valuula Ev- STACHII. { §. 2 1. ) Pollca d.fcriptio venae cauac iaitrioris oriticiorumque eius in cordc vitulino tra- ditivr, qua muJta , quae obfcuriora in homine funt , iUuilrantnr ct explicantur. ( §. 22. 23. 24. 25. &.6. 27, 28.) iiain iequitur difrv^rtatiuncula de val- VwiJ {Jwii fjnitlri > quae , hnud f.itis ccgiita , pra fe'i'i!Uiu".ri valuula "vul ;o habcmr , et qii.im ad an- B,t.brium potius vcl tubiilolarum genus pertinere , aceuxariQribU!» oblcruationibui» ollencitur. ( §. 25^. aov. 3it.. ). Denifque , quib.us caufis fadum fit , vt ecrw de forjmine ouali fe tamdiu ludmuerit , ex- ploraiur et mcthodo illuc adfcribitur (tdionis haud coouenienti. ( §. 3». ) Aleliorque fecandi ratio do- eetur ( §. 33.). His abfoluitur pars prior idifftr- tatioiiis, aiiatomica. Purtcrioris , qua de motu fan- ^uinw iu foctu agitur , principalia capita diximus. r/ ^ ■ ■;

II.

Lychni - Cucubaliis noiia Planta hy-

brjda ;

Aiiftore I. T. Koelreuter pag. 4-1.

Votis Acadcmiae refponfurus Ccl. Koeheuteru^ ^ ;Uiqua tuorum , circa producljonem plantaruni hybridariim , tcntaminum Commentariis noHris in- fercrni.ia obtuht ; in quibus vt ea , quam Inicusiiue txkruit 5 diiigcnrii atque afliduitatc pergore vdit ,

ctiam

etiam atque ctiam optabunt omnes , quibus Natura- lis Scientiae incrementum cordi elh — Nonduni Hiiitam dioicam cum hermaphrodita, diftincfli prae- fertim generis, connubio iungere tentauerat Nolkr ; quod "vtique experimentum nouae lucis , in genera- tionis theoria , haud parum promittere vidcbatur. Lychnidem itaque dioicam cum variis aliis ex eo- dem Ordine naturali plantis combinans, tandem fuc- ccfTit et foecundum fuit adulterium foeminae huius , cum Cucubalo vifcofo maritatae. Hybrida proles ex illo connubio prognata , quam fub Lychni - Cucu- bali compofito nomine defcribit Audor , praeter in- tcrmedium habitum , figuras et proportiones , eo praefertim notabilis fuit , quod flores generationis organis, maxime ftaminibus imperfedis et latentibus, impotentes protulerit ; vnde vulgo celebrata genera- tionis hybridae regula, fecundum quam virtus patris in corticalem fubftantiam eidemque adnumeratas vulgo partes, viatrh in organa meduilae tribui folita, prae- dicari folebjt , infirmatur maxime. Neque enim Pinilhim perfc<fte et conftanti numero matris , ne- que Corollam ( adinftar patris ) corona deltitutam , flaminaue perfeda et foecunda exhibiiit Lychni - Cucubalus. Imo virtutem mafculae eflentiae in fe- minis etiam mole et colore mutandis , cuius tamen primordium et fubflantia certiirime tota matri pro- pria eft , adeoque in matris organa adionem , aeque luculenter comprobarunt hybrida in laudato cxperi- mento produda femina ; quemadmodum talem cfFe- ^Tom.XX.Nou.Comm. h «Sum

(Jlum Gallinae a Phafiaao foecundatae oua , teftae coloic rnutato , indicare quoque folent.

Longum Cel. Audor addidit experimentorum Catalogum , quae , licct coniundione plantarum ae- que affi.iium inllituta , fruftranea tamen fuerunr. Vnde cautius hypotheles ftruere difcent li , quibus hybridorum genefis adeo facilis videtur , vt non fo- lum intermcdias , alienisque fpeciebus fimilitudine quadam afhnes plantas natuiaii diflimilium fpecierum connubio audader tribuant , fed etiam gencra tan- tum fumma initio rerum condita , eorumque adco difcordantibus adultcriis fuccelliue copiofas , quibus hod:e obruimur , fpecies prognatas fuifle fingunt. Difcant hi experimentis Koelreuteri noflri , quorum iam illuftrem numerum et egregias feries in libellis fuis germanicis edidit , etiam arte, faepe difScillinia elTe maxime affinium plantarum adultcria , quae Ifti folo naiurae fub caflo regimine intcr difljmillima genera adeo facilia quondam fuifle imaginautur. Di- fcant etiam hybridas plantas in conflantcs fpecies vix irnuqam euehi poflc , ineptitudine partim ad gene- randum , partim degradatione vel degcncrationc p>r fuccedentes generationes , ad pracpondcrantem altcr- Ttrius parentis habitum perpctuas easdem dcncgan- tibus» Vt etiam hic fapientiorcm Naturam fuifli Tidcamus , quam eam fibi finxctunt Oblcruatorcs.

IIL

iir.

Schacalae Hiftoria; Au£tore A. L Giildenflaedt pag. 449.'

Sohacalae Turcarum Gallorumque , feu Lupi aurei _ Kaempferi , quadrupedis per Turciam ctlerfiam frequentifrimi atque pcr percgrinatores Cimigcratifli- rai , attamen Zoologis hucusque minime rite noii defcriptioni pracmittitur differtatio , de animaJiLus domeUios aiuiquillimis atque de prototypis torum feris.

Ex vltae gcnere hominum primaeuorum pro- babile redditur , Ouem , Gjpram atque Canem an- tiquillime et primo omnium in numerum anima— . lium domeflicorum liomines rccepifle et cicurare tentaffc. Idera ex varietate numerofa, qua hodie haec animalia veniunt , probatur , additis infuper cauffis , quare Canis figura et habitus Iiodie magis variet , quam Caprae et Ouis.

Prototypa varietatum Caprae , Ouis et CaniJ quaerenda efTe in montofis Afiae minoris , ceu re- gionibus primo omiiium in globo noftro terraqueo per homines primaeuos occupatis , flatuitur.

Hinc quod Mufmon Veterum feu Muflon BufTonii et Capra Ammon Liunti pater varietatum Ouis fit coniirmatur. ••" h 2 Dein

Dein de Rupicapra et Ibice negatur , quod cx illis Cuprae varietates ortae fint ; fed dedaratur illas ex Pafena feu Capricerua Kaempfcri , quae Capra bezoartica Liiinei deriuandas effe.

Tandem Canis varietates nec ex Hyaena , nec ex Lupo , nec ex Vulpe , fed ex Schacala proue- nifle , ex ftrudlura et proportione inteftioorum , ex dentium et digitorum numero , ex corporum ma- gnitudine , ex pilorum qualitate , ex roftri figura , ex inftiiidu venereo , ex moribus , atque cx patria ac cx ftatione horum animalium , remotis pariter difficultatibus ex Canis latratu atque ex cauda eius- dem plerumque recuruata oriundis , demonftratur.

Adduntur critica circa nomina et fynonyma Scbacalae.

Sequitur Schacalae fecundum partes extern;is , fecandum vifccra atque fecundum ofla defcriptio , additis faciei , trunci atque extremitatum , vifcerum aique ofllum dimenfionibus , indicatisque afiinitatibus inter Schacalam , Canem villaticum , Lupum et Vulpem obfcruandis , quae omnia iconibus ftaturam Schacalae naturali quadruplo minorem ( vid. Tab. XL ), atque figuram inteftini illius caeci ( vid. Tab. X. ) , nec non eiusdem ( vid. Tab. XIL ) ct Vulpis ( vid, Tab. XIII. ) cranii magnitudine naturali delineatam ilfteatibus illuftrautur.

IV.

IV.

Chaus^ anlmal Feli affine defcrlptam;

Auflore A. L Guldenftaedt p. 4,83.

Proponitur nnimal Zoologis hucusque ignotum , ad fclinum genus pertinens , Caracali BufTonii fummopere affine , in campis deprertis arunJine et arboribus obfitis circa mare cafpium indigenum , ibi- demque obferuatum, Chaus appellatum. InrtindiL atque moribus expofitis, traditur defcriptio Chai fe- cundum omnes partes externas \ additur earundem men(ura ; fequitur anatomica vifcerum expofitio ; tandemque et odlum praefertim cranii determinatio et dimenfio. Coronidis loco adduntur fpscifica no- mina animalium quatuor proxima affinitate , auri- culis barbatis fpedlabili , coninnclorum fc. Lyncis Audlorum , Felis ru-flF.ie Pennanti , Caracalis Buffonii et Ciiai noflri. Iconibus duabiis repraefcntatur Chai ftatura, naturali quadruplo minor ( vid, Tab. XIV. ) ct cranii eiusdem figura, magoitudine naturali ( vid. Tab. XV.).

h 3 ASTRO-

ASTRONOMICA.

I.

De traie£lu citlflimo flellae per duos

circulos Almicantarath datos pro

qualibet eleuatione poJi.

Auftore L. Eulero pag. 50^.

Problema non adeo folutile in praefenti difTerta- tione pertradandum fulcipit \ ir Illullr. quo fcilicet, conftituto meridiano loci ambobusque Al.ni- cantarath , eiusmodi ftella quaeritur , quae motu fuo diurno paralklum quempiam percurrcns ambos Al- micantaratli ita fecet , vt angulus menfuram tem- poris , quo ftella fpatium inter hos circulos contea- tum traiiciat, cxhibens, fiat omnium miniuius. Ad- hibita igitur reftridione debita , exclufisquc omnibus flcllis poio nimis vicinis vel ab eo nimis remotis , quam vt motu diurno per ambos Almicataiath tranfire poflint, quia angulus mcnfuram tcmporis traiedus ex- hibens minimus efle debet, 111. Audor fccundum me- thodum maximorum et minimorum aliam ftellam quacfitae proximam concipit, quac alios duos Almican- taraih in aliis pundis traiiciar. Et cum anguli menfu- ram temporis vtriusque traicdus txhibentes aequales in- tcr fe effe debeant, ex hac minimi conditione acquatio «licitur , pro qua adimplcnda diftantia ftellae a polo

- V-

ita dcfiniri debet , vt parallelus inde defcriptns ad ambos Aimicatarath aequalitcr inclinetur f atque ex ip(a liac proprietate lolutio problcmatis propofici elegantiliima deducitur , cui Vir 111. aliam merc geometricam in fine fubiungit. Vbi probe notandura eft , hoc problemate foluto famofillimum illud pro- blema olim agitatum de minimo crepufculo etiara. faciliime relblui.

IL

De cn*ciiIo maximo fixo in coelo con-

flituendo ^ ad quem orbitae planeta-

rum et cometarum referantur.

AuQore L. Eulero pag. $og.

In tabulis Aftronomicis recentioribus follicite indi- cari folet progrcflio annua nodorum euiusquc: planetae ; quantum nutcm adhuc dilkmus a perfeda de hoc argumento cognitione exinde patefcit , quod Adroncmi circa quantitatem huius motus tantopere inter fe diflentiant , vt v. gr. CaflTinus promotionem fecularem lineae nodorum pro Saturno exifiimet elTc ~ i^ 35'. 11" , dum a Halleio tantum 0°. 30'. o" pro ea aflignetur. Cuius cnormis dilTeufus in eoeui^ denter quacrenda ell ratio , quod crror aliqnot gra- duum in^ loco nodi patratus quafi nullum in latitu- dine planetae dilcrimen pariat , ita vt ex recentiorr- bus obleruationibus alic^uot adeO' feculis .a fc inuicem > dillan-

diftantlbus fimulque exquifitifljmis vlx aliam nifi jnancam de vero loco nodi cognitionem impe- trare liceat, quia inclinationes orbitarum planetarum fld orbitam tcrreflrem fiue cclipticam nimis funt paruae, quam vt eflfedus ex tali errore oriundus di- ftinde determinari queat. Maxima autem huius in- certitudinis lcatebra in inclinatione orbitarum plane- tarum , pro antiquioribus tcmporibus non mious la- tente , mox detegetur.

Minus quidem circa hanc orbitarum inclina- tlonem ad edipticam inter fe diffentiunt Aflronoml. Perperam autem ex hoc confenfu iudicares , cnndem inclinationem , vti tacite fupponunt , pro antiquiori- bus temporibus locum habuifTe , quia non folum nullis obferuationibus confirmari poteft ^ fed ctiam theoriae maxime aducrfatur; ita vt inde quidem condudi pofllt , recentioribus his temponbus incli- nationes orbitarum talcs fuiffe , quales hic afllgnan- tur ; verum hanc conclufionem ad fecula anteriora , de quibus in grauiflimis tenebris verfamur, cxtendere non licet. Haec autem inccrtitudo etiam in motum nodorum redundat , quoniam ca fubfiflente nequidem ex occultationibus fixarum , quippe quae (olae ido- neas illius tcmporis obfcruationcs pro motu nodorum determinando , fuppeditant , aliquid certi condudi potefl.

Haec tanta incommoda iam nonnulli infignes Geometrae hoc argumcntum aggrcdientcs animad- verteruni , fimulque agnoucrunt , nihil ccrii ncque

ex

( 0 ) m^ c$

ex obferuationibus neque ex theori:t circa motum nodorum et inclinationem crbitarum planetarum co- gnofci pofle , nifi iiacc elemciita ad circulum minus lariabiiem in coelo quam ecliptica referantur, quem in finem acquatorem Solarem propofuerunt ^ vcrum ob piura incommoda , quibus rcdudio horum cle- mentorum ad circulum tantopcre adhuc incernjjii , ab ediptica finnil nimis diucrfum , iaboraret , eum acque rcpudiandum efl[e lil. de qua agimus diflerta- tionis Au<flor autumat ^ praefertim cum in aliam ideam incidiflTet , hoc ncgotium conficiendi. Si enim pro circulo illo fixo ipfe echpticae fitus, quem certo quodam tempore obtinuit, accipiatur, manifeflum efl;, loca planetiirum , quae tempore quocunque fuerint obferuata, commodifllme ad iflam eclipticam determi- natam reuocari pofl^e. Proponit igitur Vir 111. pro hoc (copo pofitionem , quam ecliptica initio huius feculi habuit , quippe quae merito tanquam circu- lus in coelo reuera fixus (pedari potcft, quandoqui- dem femper pcr easdcm itellas fixas tranfire eft cenfendus, ita vt tam loca planetarum et cometarum qnam eorum orbitae commodjfljme ad eum refe- rantur. ' ^' .'JfTibOaoa otfonj ?r.. ^

Conflituto igitur circulo, maximo, immoto, po- fitioncm edipticae initio h'nus (eculi exhibente, 111, Audor in pundo aequinodlii verni (a quo fimul longitudines fteilarum eruntcomputandac) ftcllam fin- git fixam, notabilem, quae pcr-petuo in eodem loco hacreat : tum vero concipit aliam ftellam a priore Tom.XX.Nou.Comm, i qua-

quadrante remotam , ita vt his duabas flellis fixig pofitio circuli maximi fixi deterniinctur. His au- tem conftitutis Vir 111. in fitum eclipticae pro alio tempore quocunque tam ante quam poil epocham illam rcceptam inquirit , quandoquidem hinc omnia Ifjca In coelo relpcdu orbitae terreftris haftenus de- terminata ad circulum illum fixum transferri pote- rtint. Hunc in finem regula olim in adis Beroli- nenr. ab ipfo Viro 111. de variationibus latitudinis fixiirum agente , tradita in fubfidium vocatur. Cum enim ope eius regulae ex data tam longitu- dine quam latitudine cuiuspiam ftellac fixae pro initio huius fecuii eius locus pro quouis alio tem- pore afhgnari liceat, inde facile loca definiuntur, \bi ambiie fiellae, pofitionem circuli maximi fixi detcr- minantes, feculo vno elapfo rcfpedu eclipticae repe- riuntur.. Manente igitur circulo immoto feu pofi- tione eelipticae pro Anno 1700 lU. EuJerus alium confiderat circulum, eelipticam pro Anno i8oo ex- hibentem;et determinatis mutationibus inde oriundis, quas quidem quam minimas efle deprehenditur, prae- cipuum negotium in quaerendo illo pundo, vbi ambo cclipticae fitus modo confiderati fe mutuo interfc- cant, verfatur. Situ autem huius pundi pro diucr- fis epochis determinato , nuUum plane difcrimen in eo reperitur , ita vt in noftro circulo immoto tan- quam pundum fixum et ideo omni attcntione di-- gnum fit cenfendum , quod per id et per fui op- pofitum ecliptica feinper tranfeat et cir.cum ca motu

angu-

angolarl conucrtetnr ita vr bacc duo punifla tanquam cardmes orbixae terreflris (pe<ftari queant. Jpfa auteai hacc cjrdinuin idca 111. Auctori modum maxime ido- iieum (uppeditat, veram pof:tionem orbitae cuiusque pl.inetae ad quoduis tempus ex cognitis cardinibus et promotione (eculari determinandii hac Ibla reflridiune atiiiibira , quod numerus lcculorum non nimis ma- gnus flatuatur , quia alioquin in mctu tcculari et loco curdinum a nodis xeliqm^rum planetarum pen- deiite quaedam alteratio oriri pofTjr. iJe vlu igi- tur huius fthcillin-,ae carJiiium idcae maxiire ad- di clus Vir 111. in cardincs reliquorum planctaru n inqdiri'; veriim cum inde taiitus mier tabula» H.il- kianu^ et CiflinKUvas difTcnlus patelcat, vi v. gr. h-ca cartHnum prti lcjue vltra i6o dilcrepent , et motus fccularcs adeo in pli^as contraiias vcrtaniur , iflam difquifltionem non profequitur , fcd potius in fubfi- dium emendationis erroris ex fallaci Aflronomonim hippofnione circa inuariabilitatem inclinationis orbita- rum ad cclipticam orto, in qua incertitudo cardinum cft quacrenda , hoc problema fubiungit: Datis cardi- nibus duorum planetarum cum vtriusque promotione fcculari , ad quoduis tempus tam interftdionem qnam inclinationcm vtriusque orbitae determinare, fiquidem haec tlementa pro epocha 1700 futrinc cognita. Accedit denique fupplementum, vbi formulac traduntur, quarum ope omnia f;iciliori negotio abfol- vuntur, ita vt inde eiiam inutfligationem cardinum it motus lecularis reliquorum planetarum infliiuere li-

i a ccar,

ceat , qiiibus abrolutis adhuc fequens problema folui- tur : Si tcmpore quocunque locus pUinetae in coelo more folito fuerit obfcruatus, cius fitum ad circuluna coftrum fixum in coelo reducere, . , jiii ^

' >'i'>lJiiii. t III. .(lOiiOiTiinq

Obfernationes Aftronomicas pro deter-

minando fitu Geographico varioriim

per Imperium Rufficum locorum a '

Nob. Chriftophoro EulerO;, Annis

1/(59 et ly/o fa<£las, recen-

.i:et A. I. Lexell pag. 54.1.

, Til'.;

um in noflris Commcntariis obferuationes Artro- nomicae pro determinanda Latitudine et Lon- gitudinc plurimoruin in R,u(lia locorum a Cel, Krap , et, C!ar. Iflenieff atque Inochodzoiv fadae , iani. h.ibeanrur cxpofitae , Aucflor huiiis DifTertationis obferuatioucs quoquc Allronoinicas a Nob. Eulero hunc in finem inflitutas , fuccindc hcic cxponcn- das flatuit , quo fcilicet mcHus diiudicari poflit , quam fidcm mercantur detcrminationcs cx iftis ob- ■feruationibus eliciendae. Klae autcm dctcniiinatio- nes fc habent, vti fequcns Tabula ob oculos poni^j

Vralfkoi

c

'^>¥.% ( 0 ) ^n<

n

Vralfkoi G ^rbiok alLis laik ■;'■'' Tfchjrk.ifk 'i' 'i' -,

Tiiganrock -.'■"-^■'- Krenientfchiick - - St. Elifiibeth - - - Sa po r og ( k.i i'.i Sie t fc ha S.imara - - - - Perewolotfchna V*

LatituJo.

II'

O'

r-

.1-

GUichow

)i»vl.i

51

4-,7- 13-' <5.

47. 12 40' 49- ' 3.^i8

48. 30; 10 47V3i.;3 5 43. 2^/3 5 48"' 5 ».40 5 I. 40.30

Longimdo Geographica a MeriJiano rarillno in Teinp. I in Gradibus.

3''. 17'. o" 49°- 15' 2. '30. o 37- 30

2. 25.15

2. 4. 3 5 2. 0.30 2. '.8.10'

2. 12^ O

2.

8. o

35. 19

31. 9

30.

;33;% "32.

71 2.^

De his vcro detcrmioationibils tenendiim efl , quod eae (|uibiis Latitudines exprLmuntur , pvo adeoi ex- a(flis .fint -reputandaa , \t "vix ^maitis .quam : decem rcrupulorum fecundorum dubium locum habere queat; nifi forfati.pro Callello St. Hliiabeth incertitudo ali- quanto. nnaior locum inveniat , quae tam«n .femiflTen minuti primi miniine fuperabit. Q^iiod aute/n Lpij- gitudines heic rccenlitas attinet , illuc quidcm in ge- ncrc cum aliqua Lititudine dccem , vel adeo viginti fcrupulorum fccandorum. .iji jempore , iramo..pro nonnullis locis forfan vnius minuti primi ^, ,.accipi debcnt. ■ Determinationes fcilicet Longitudinum pro fcqucntibus locis : Tfcherkafk ,' Tnganrock , Kremen- tfchuck V St. Elilabeth , Gluchow ,• certiores haben- dae funt , quam ilLie pro 'Vralfk , Saporogfkaj;i Sietfcha ct Samara , quarum poQcriorcs obfcruatio- nibus aliquantum^dubiis^ innituutur,_ Pro Cafteilo ai i 3 ^ St. Deme-

St. Demctrii nnltae quidem exnant pro Longitudine determinanda obfcruationes ^ verum quum diftiiiua huius loci a Tfclicrkafk et Tagaurock pi.r mcnlura* Geodaeticas conftct , in procliui cll inde Lon^iitudi- nem luiius loci elicerc. Compcrtum fcilicct eft, di- flantiam ititer Tfcherkafk ct St. Dmitrii efle 27 Verftarum , vnde fi gradus fub aexjuatore acllimetur efle 57260 Penicarum GaHicarum ( loiUs), con- ficietur diffsrentia Longitudinis inter Tfchcrkifk it bt. Dcmctrii circiter 23', Simili rntione quum Jill.in- tia inrer St. Demetrii et Taganrocit inuenta fji 73 Verlhrum,' chcierur inde difflrcniia n.cnJiiiunuiii inter haec loca s^J circiter, ex quibu^ niciiHiris /dcmiim fit (lifierentia Longitudinis inter Tuli-rtafk ct Taganrock 1 . 1 2' circitcr , qnae \ltra quam ipe- rarc fas erat , cum illa confcnft, quam cx oblirna- tionibus Aftronomicis deduxuTus. Si igiiur Longi- tudo pro Kcherkafk a /Vleridiano P.irifjn{> aellime- tur effe 37^30', erit illa pro Cartellu Sl Dcmeirii

IV.

De obferuatlone Eclipfeos Solis, Petro

poli die ~ Aiigiifti , Anno 17/5

inflituta.

B

Anftore A. I. LexcU pQg. 577.

cuem expofitionem obrcruntionnm circa rclipfin Solis die 15 Augulli 1-75 Petropoli fatflarum,

ia

in hac DifTertatione tradit Clar. Audor, cuiiis prae- cipua momenta habentur fequentia : Praeter finem Echpfeos , quem fatis exadle obferuauit Temp. vero PetropoHtano dic 25 Aug. 18^41'. 22", varias quoque inlhtuit obferuationes circa partes lucidas di- fci Solis tt dilbntias cornuum Lunae , ex quibus obfcruntinnibus collegit tempus coniundionis verac intcr Solem et Lunam incidinb Temp. Petropolitano vero 19''. 8'. 37'^, fiuc tempore mcdio Parifino 17^ 18'. 18", exirtente pro eo momento Longitu- dine SoHs et Lunae 5^ 2°. 4.2'. 17" , \nde deducitur corredio Tabularum Lunarium Cel. Mqyeri — 45" in LongituJinem , Latitudinis correcflio autem non nifi —7" abfoluetur. Comparata deinde obferuatione PetropoHtana pro fine EcHpfis , cum obferuationibus circa hunc finem in nonnullis aliis locis infiitutis , inuenit diffv.rentias Longitudinum inter Meridianum obferuatorii Parifini et h.aec loca , vt fequitur : Lundac a Meridiano Parifino differentia 4.3'. 44-'' W.irfowiae - - - - - i*. 14. 38 Regiomontis- « - - - j. 12. 30

Suecopolis - - - - - I. 30. 4-0 Quod autcm primam harum determinationum atti- net , illa in exceffu aHquantum peccare videtur , nam ex obferuationibus pro fine EcHpfium Solis Annis 1754 et 1769 Lundae infiitutis, Longitudo Lundae multo minor coUigitur. Medio autem fumto omnium trium dcterminationum Longitudo huius loci a mc- ridiano Parifino fiet 43'. 30" circiter. Longitudo pro Warlbwia heic inuciua faltem intra decem fcru-

pula

7» ''>¥.i ( 0 )

<•»•

pula fecunda. exada \idetur , prouti obferuationes circa Eclipfin Soiis A. 1^6^ Warfowiae fadae con- firmare videntur. De Longitudine Rcgiomontis per obferuatioiies Aftronomicas luicusqiie nihil conflitit , verifimile autem eft , heic allatam determinationem proximc faltem ad vcritatem accedcre. Longitudo pro Suecopoli loco Sueciae munito , . qui haud pro* cul ab vrbe Heiringforfia fitus eft , eatenus Jocum hjbet, quatcnus Elcuatio Poli huius loci fit 6o°. 5', quam Audor in fuo calciilo fuppofuit ; caeterum fi Latitudo $' diminui vel angeri dcbcat , Longitudo illius loci duobus fcrupulis fecundis augcri, vcl minui debet. ■ '

ofioijf: "y,

Obferuationes Aftronomicae in vrbe Dmitriewfk inflitutae , vna cum de- i», terminatione latitudinis et longi- f tudinis huius loci.

Auftore Petro Inochodzow pag. 59^.

Referuntur hic cae potiffimum obfernationcs, qiiac ad pofitioneni Geogrnphicam vrbis Dniitricwfk crucndam infcruiunt : idcirco cxponitur imprimis rccftificntio Quadrantis bipedalis , ( Londini a SifTuno falxcfadi ) , ex qua prodit trror ab altitudinibus ob* feruatis auflfcrcndus i'. z". Quod ad latitudincm at- tinct , deducitur ea ex 22 altitudinibus Solis mcri-

dianis

'^P.i ( o ) ^M^' TJ

dinnfiS.5o°. 5' s" , ex altitndinibus vcra 14 'fixariim 15 0°. 5'. 10" ,• vnde mediii 50". 5'- <S" > vt certa arta-I mi poteft. Pro definicnda longitudinc obfcruatac funt immcrfumes et emerfiones Sateilitum louis , qinic cum calcullset cum obferuationibus correfpon- dentibus con pnratae pratbent differenUam meridiano-' rum inter Parinos et Dmitriewfk 2'^ 52'. 27". At eadem e duabus Solis eclypfibus conclufa eft a^ 52'. 11"; poftcriorem determinationem duplo pro- babiliorem atflimando, longitudinem defidcratam fme fenfibili errore 2^ 52'. 16", fcu in gradibus 43°. 4.' et a mcridiano primo <J3°. 4' flatuere licet. Decli- natio acus magoeticae ibidem anno 1771 inuenta eft 6° a feptentrione verlus occidcntem.

f.nrjicb

VI.

Qiiatuor dellquia Lunae in Dmitriewfk. obferuata exponit Petrus Inochodzow

pag. (5ii.

Ad obferuanda hacc phoenomena vfus eft Audor tubo DollonJiano trinm pedum . et obftrua- tionibns fnis fubiunxit momenta a Cel. Lowitz per tubum Quadrantis 25 pedum notata.

Primum horum diliquiorum erat die \l Apri- 1771 , cuius initium obfcruauit I. i6^ V 2&". t. v.

•t"om.XX.Nou.Comm, k Alierum

•74'

-»•1^.1 ( o )

Alterum die 5^ Odobr. eiusdemanni; initium hnins eclypfis notiiuit 1. 6'\3S'. ii", idem fi^nauit L. O^ 38'. 5'j'^ finem obleruauit 1. 8^ 5+'. 44;"- . .

Tertipm die f, Apiil. 1772 j eius fiiiis nmi- tus ab I. 8''. 53'. 25"«

j Quartum denique eodcm anno die |? -^f^tr. t

Cuius potiora momenta haec funt : ,

ex obfcru. L. Initium d''. 3 ;'. 6"

, Immerfio ''''' Emerfio finis

7. 37. 4-3 9. 21. 8

10. 27. o

ex obferu. I, *

6\ 31'. 31" 7. 38. 31 9. 20. 13 10. 27- 13

E colhtione trium pofleriorum eclypfium cum obferuationibus correfpondcntibus prodit longiiudo Dmitriewfki a Parifiis

; r ex 3. 2. 52-30 , r,

7/OXLVii gjj ^. . ^^ 52 22 t"''3 f;j;,*IJ'lDX J

Mediuh^ 2. 5*- i7-

/-■ ! )^ ■: ^•. .^'•"'y t ' ;iffnj . ;

muijJA

VIL

VJI.

Obferuationes Aftronomicae in vrbe

baratovv habitae a G. M. Lovvitz

anno 177^. pag. 621.

OSferuationes has Vir Cekb. pro determinandis la- titudinc et longitudine vrbis S.irntow inftituit ; quarum prior prodit ex altitudinibus fixarum me- ridianis ad Aulirum ct Borcam captis 57°. 31'. 33'', cadem vero colligitur ex alticudinibus Solis 5i°.3i' 23": hint fumto medio lUtui illa potefl 51^31'. 28". Quod ad longitudinein attinet, cam non nifi ex \nita immerfione i"" Satcliitis louis collata cum calculo pro Parifiis deducere licet a*'. 54'. 42" , \el rotunde 2^' 54-i' » adeoqiie in p.irtibus circuli 43°. 40' et a meridiano primo 6^°. 40. Decimuio acus magne- ticae pro hoc loco rcp.rta eft 3". 28^ verfus occafum.

VIII.

Epitome obfeniationiim metcorologi-

carum Petropoli anno 1775. C^'-

corr. inftitutanim.

Au£lore I. A. Euler pag. 626.

Primo leco obferuationes cxponuntur barometrkae. Ahitudo barometri maxima zn 19. 11 poll. duodecimal ped. regii parifini men(e lanuarii ; mi- ^ k a uima

7<y

->l^.-b ( o

) '^9^<

nima rr: 27 12 iricnfe. Mjrtii ; media intcr omnes obferiiatas — 2 3; I c. 1 lurcs a!ccnlu> \el dcfctndvs IMcrcurii not.ibiiiores vcl (ulitanLO* Cel. Audor fepa- iiitim exponit. Fx obforuationibus ilicrmometricis co'lijiitur altitudo rrdxima ~ 105. grad. Delisl. menfe Au^udi i niiiuma zripi. men(e lanuarii adeoque n axima pcr totuni urinum thcrmometri \ariatio — 86. grad. Hicms 1 uius anni tam rf^fpedu dura- tionis j quam vcheniciaiae , muho fuit miticr annis praeccdentibus :, aeilas :iutcm quoad durationem longe cahdior anno praeccdcnte^ ct medium frigus hoc anno flatui potcil — 147. grad. calor autem medius zz 139. grad. ; id eft , ptr dimidium anni altitudo thermometri minor tuit 14.7. grad. et itcrum ptr idem tcmporis interualhim maior gradu 139. Hoc aniio maxime re.;nauit ventus ex occidcnte vel Zc pliyriis et 95. numcrabar.tnr dics fer ni. Sub tincnrv reccnfentur reliqiia phacnomena , tonitrua , aurorae borealcs , atque alia , a Ccl. Auclore hoc anuo ob« feruata.

1)

JL

INDEX

I N D E X

DISSERTATIONVM.

M a t h e m a t i c a,

Dan, Bernoulii , Aduerfaria analytica mifcelhiica de fradioiiibus continuis pag. 3.

Eiusdem , Difquifitiones vlteriores de indole fracflio- num coniinuarum pag. 24..

L. Euler , Solutio quorundam problematum Dio- phantaeorum pag. 48.

Eiiisdem , Spcculationes Analyticae pag. 59.

■ - T

J. 1. Lexell j De Refolutionc Pulygonorum re^flili- neorum , DiflTcrtatio fecunda pag. 80.

L. Eukr , Obferiiationes circa nouum ct fingulare ferierum genus png. 123. ''

P hy/ic 0'Mathematica.

L. Eu/er , Forrautae general s , pro translatione , quacunque corporum rigidorum pag. 188. ■'' '

Eiusdem ■, Noua methoJus motum cnrporum rigido- rum detcrminandi pa.j. 208.

k 3 A. L

>

78 «^^.i ( o ) S'<^<-

A.l.Lexell, Tlicoremata nonnulla generalia de trans- latione corporum rigidorum pa^. 239.

. . ." I r A 'xA :

L. Eukr , Regula ficilis , pro diiudicanda firmitate pont s aliuHse corpi ris limilis , ex cognita firmitatc raoduli pag. 271.

Eiusdem ^ De g-mina ncihcdo tam aequilibrium

::j quam motum C(Tporum flcxibilium deicrmi-

nandi et vtr-.usjuc egrcgio confcnfu p. 2 8<5.

EluSdsm , De preinone funium tenforum in corpora lubitda corumque motu a fridione impe- diio ; vbi pracferiim mcthodus traditur ,

■ ' inoium corporum tam pcrfcC^e fiexibilium ,

quam vtcunquc elalHcoriim non in eodem ■ plano fitorum dctcrminandi pag. 30+.

Eiusdem , De prefljone fnnium tenforum in corpora fubicd.! corum lue motu friclione impedito. DiflTi-rtatio ahcra png. 327.

W.L.Kraffr^ De \'iribus Remorum nouac fpeciei , eoru.iique (^omparationc cum rcmis ordiiiariis

ifij m

,^P h } f i c a.

C.F.JVoff, Dc Forflmine ouali , eiusque vfu in ijirigcndo niotu fanguinis. Obltruationcs no- \ac pag. 357.

/. T.

/. T. Koekeuter , Lychni - Cucubalus noua Planta hybnda pag. 431.

A. L Giildtnflaedt , Schacalae Hirtoria pag. 449. ' Eiusdem , Cluus , animal Feli afiine defcriptum pag. 483.

AJi ronomica.

L. Euler , De traieiflu citiflimo ftellae per duos cir- los Almicjntharath datob pro qualibet ele- vatione poli pag. 503.

Eiusdem , Dj circulo maximo fixo in coelo confti- tueiido , ad qucm orbiiae planetarum et co- metarum rcferantur pag. 509.

Obferuationes Aftronomicas pro determinando fitu Gcographico variorum per Imperium Rudi- cum locorum a Nob. Chrijlophoro Eulero •, Annis 1769 ct 1770 fadas recenfet A. 1, Lexell pag. 54-r'

A. L Lexe/I y De obferuatione Eclipfeos Solis , Pe^ tropoli die 5I Augufli, Anno 1775 inftituta pag. 577-

P. Inochodzow , Obfcruationes Afironomicae in vrbe Dmitricwfk inftitutae , vna cum deti.rmina-' tione latitudinib et longitudiuib huius luci

pag. 593. ,v- Eiusdem

8o

->l^.-§ ( o ) 1>H<'

Eiusdein , Quatuor dcliquia Lunae ia D nitriewfl^ obleruata png. (Sii.

Obfergntiones Aftronomicae in vrbe Saratow habitae, a G, M. Loivitz anno 1773. pag. 621.

l. A. Eider , Epitome cbrcruationum meteorologica- nim Fetropoli anno 1775. Cal. coir. infli- tutarum pa^j. 626.

-03 J5 iumi.

-0 .

i - M

jO

• .1 .k

i;il :;-...» <VVl <•

i.>

I

C -t.

WATHE.

MATHEMATICA.

Tom.XX.Nou.Comm. A ADVER-

ADVERSARIA ANALYTICA MISCELLANEA

DE

FRACTIONIBVS

CONTINVIS.

Au (fl o re DANIELE BERNOFLLL

§. I-

Haud dedignati funt -viri llluftres fummique Gcomctrae fuperioris facculi Milord Broun- clur , Wallis, Huyguens aliique theoriam fradionum continuarum commentari atque in vfus fuos conuertere , quin etiam hifct proximis temporibns Gcomctrae lagaciflimi Eulerus et ife la Grafige , tot fublimibus liiucntis cbri, argumcntum illud atithmeticum haud parum promoucrunt atqne ab obliuionc vindicarunt : liceat cgregiis obferuatio- nibus lcuiufculas quasdam fupcradiicere , plerasque excerptas ex aduerfariis olim a me congeftis. Nec mihi propofitum cft rem fyflematicc profequi nec pecuharcm vfum inhiare. Frncliones continuae ab- ruptac , aliud non funt , quam fimplices fra<ftionei

A a fub

4 DE F RACTION IBVS

fub forma plurium fractionum , intcr fe a diuifione continua concatenatarum , quas magnus adliibuit Hu- gucuius ad proportiones , pro admifla alicjua aberra- tione , fimplicifumis numcris cxprimendatj. Exami- nabo potilli iium fradioncs continuas data Icge in in- finitum progredicntcs , cuiusmodi celebrc nobis dcdit exemplum llludris Brounchcrus y argumcnti huius Audor , pro dctcrminanda rationc inter quadratum et circulum ci inlcriptum , quam Wallifius cx pro- fundiflimis abditis cruerat modoque valdc diucrfo expreiTerat. Animus erat inquirendi , quibusnam iu cafibus cxprcflioncs nodrae in infiuitum continuatac Talorcm obtineant communi anaiyfi dcterminabilcm. ]Vliratus fum pauciffimos efle liofce cafus eosque fim- pliciflimos ; praetcr hos reliqui omnas ad formuias tianrccndcntales conducere vidcntur i ncc tamenjqunn- tum cgo quidem fcio , vllum adliuc a Gcomctris prolatum fuit exemplum ea. de re aliud quam. JBrounclicrianum^

§. 2. Initium ficiam ab exprcflione fra^flionun» continuarum nullibi abruptarum intcr omncs fimpU- ciflima maximequc obiiia. Proponatur fcilicct ia- ■wcfliijandu& vaior fcquentis cxprciiionis

m -i- ctc

6

. CONTINVIS. $

▼bi m indicat numcrnm qualcmciinquc fiue affirma- tiuum fiue negatiiium , iiuegrum aut fiadlum , ra- tionalem aut irratioiialem : Si ponatur, lianc expres- fionem continuc magis magisque conuergcre ad cer- tum et dctcrminatum aliquem valorem , necclTc crir, ,vt poft numerum infinitum concatenatarum fradio- Bum , valor expredlonis haud porro varietur, fi no- \a fupcrueniat fradio. Sit itaque pro fradionibus infi.iities repctitis valor expreflionis — S atque puta nouum pracfigi tcrminum , ita vt qni fuit primm nunc fiat lecundus ^ erit tunc valor cxpreflionis ^—L-^i atque fic habcbimus ( per hypothefin )

S=rtj_. , fiiie S*+7«S=i vel S :iz-^^!^^^^^^

T71-f-S ' » )

quae folatio vnicuiq^uc obuia. cft,.

f. 3. Verus vtique valor cft , qucm modo dedimus , atque fi ad cxcmpla purc numcrica des- cendcre lubeat, hiculenter apparebit , quam cito plc- rumque a quauis noua aJicdla fradione exprefllo ad valorem iftum approperet. Sit, verbi gratia, w— J, dabit formula noflra , pro cxpreiTione infiniti-mcm- bri , S zz ^. At fi fumatur valor exprcflionis fuc- ceflinc pro fradlione prima fimphci , dein pro fnidio- re bimembri , trimembri et quadrimcmbri , obtine- buntur valorcs fpccifici I ; " ; i\* et ^f J- , in qui- bus , fi numcratorcs retineantur , dcnorninatorcs lola ■vnitate aberrant , altcrnis vicibus in defctftu fiue in excefTLi , vnde apparet, quam cito fradiones abruptae conucrgant ad propofitam fradioncm infinitimcm- brcm ciusque valorcm S; ctiamfi pro m numerus

A 3 lra(ftus

€ DE FR ACtIONIB VS

fradlus fuerit aflumtus. Praefati autem termini nu- merici pro fradionibus abruptis fuccefliuc detcrmi- nandis facillime continuantur , quia quiuis numera- tor noui termini eft tripluin dcnominatoris \Itimi termini , dcnominator autcm in nouo termino eft triplum eiusJem numcratoris modo inuenti vnitate audum vcl d'minutum , prouti index noui tcrmini fuerit par vel impar.

§. 4. Vnicum paritcr fufficiet exemplum, quo appareat nihil obftare, quin pro m quantitas afluma- tur irrationalis. Ponatur , excmpli can{a , m — V 5: fic dabit fiirmula in fine paragraphi fecundi expofita valorem fradionis infiniti- mcmbris Szz.^-~-\ Si Tero in expreffiouc propofita fumautur rucceffiue va- lores pro fradionc vni-membri, bimembri , tri- mcmbri etc. obtincbuntur termini

'.VSi ;V5; /jVs; /, V 5 ,• A a >" 5 ; ctc

Vtamur tcrmino quinto ^-'^^5 >t vidcamus qu:m- tum diflct ab tcrmino infinitefimo S — '-^^. tfl

Tcro y 5 — 2; 23(5o<?8i ergo aVa V 5=0, sSiiPpS et 5 — 0,381966, qui ambo numcri in quinta de^ mum figura in diuerfa abire incipiunt. In gcntre apparet quod tcrmini a fradionibus continuis abruptis prouenientcs tanto citius ad valorcm S conucrgant , quanto maior affumtus fuerit valor numuri m et licifiim tanto tardius quanto minor efl numerus m.

§. 5. Dcniqne etiam quacritur , quid futurum fit quando pro ;// fumitur nnmerus ncgatiuus ^ dico auum tunc quantitatem radicalcm ia formula para-

graphi

CONTINVIS. 7

jraphi fecundi ncgatiue cffe accipiendam atqne fic fore S — zUlrrJ^irtJU? , vbi fi fumatur numerus m ncgatiue oritur S — nLn:sL*j±^^ , qui valor negati-

ve idem eft , qui fuit in paragrapho fecundo. No-

tabile mihi videtur , quod pro cafu fpecialifllmo

m— o fiat perinde S rr i et S n — i : Vidco hic

iterum , qubd pafllm monui in pracccdcntlbus diflcr-

tationibus occaflione ferierum , quas fonnaat finus

vel cofinus arcuum circularium arithmeticc progrc-

dientium , nempe diftinguendum eflc inter nihilum

abfokirum ct inter infinite paruum ; In priori cnim

cafu fir S zi -'— ; in pofleriori S — -h i atque fi

hanc rem prolequamur per (Ingula cxpreflionis mem-

bra , prouti fecimus paragrapho tcrtio , obtincbimus

fuccefluie pro valoribus expreffionis abruptae oo. ^.

°° ^ etc. Sic tota qiiaeftio in nmbiguo pofita ma,-

net, At in altero cafu' termiiii numeio impares' y

Ytcunque magni ab initio , continue dccrcfcmit cre-

fcuntqne termini pares , don.c nmnes ad eandem-

magnitudinem tandcm reduci;ntur , 'quae erit proxi-

mc -+i I, prouti minima quantitas aflumpta m fue-

lit vcl pofitiua vel negatiua:.

§. 6. Erunt fortnflc, quibus folutio paragrapho (ecundo expofita minus videatur apodicflica , nec eos prorfiis improbarem, ideo quod non fempcr fatis li- qneat , exprcfilonem defmere in valorem conflanrcm ct dcterminatum , ctiamfi ccrtum fic enm efle fini- tum ; etenim poflct tandem exprefuo couucrgcre- ad

termi-

S DE FRACTIONIBVS

terminos pcriodicc atqiie data lcge rcciirrcntcs , Tt- cunque inter fe inacqualcs, prouti nutum clt lcricm form:itam ex finibus vel cofinibus Arcuum circula- rium arithmctice progrcdientium formare huiusmodi perpetuos recurlus: hac ratione indudus argumcn- tum nodrum aho profequar modo a priori phnc diucrfo.

Conuertatur fuccefllue expreffio frndlloniim con- tinuarum in aequiualeiites fraftioncs fimplices , inci- picndo ab exprcfllone vni-membri et pcrgendo ad cxprelhonem bimembrem, trimembrem , quadrimcm- brem" etc. Sic fuccciriue oricntur valores

m «m-i-t m^-4-a m m*-|-imm-f-t_ m^-i-*n'-^~zm vi»-^sm*--+-«rr.m4-i ^f^

' mm-i-t^vi^^-i^tm' m*-^imm~i-t' m^-i-^m^-t-fn' m*-t-5m* + 6v;m-)-i* m'-(-6r7.5-t-»om2^-*u'

Duo funt in hac progrelTionc fraiftionum fmiplicium notanda ; primum e(l , quod quiuis numcrator idem fit quod denominator praccedcntis tcrmini , ita "vt feries numeratorum eadem fit cum fcric dcnomina- torum , hoc lakem dil^.rimine , quod fccundus nu- merator idem fit cum primo dennminatore , tcrtius iiUHiCratnr cum fecundo denominatorc et fic porro : igitur fufliciet confidcraflc fericm numcratorum, Sc- cunda obfcruatio , quac hic potifllmum notanda \e- nit , in hoc coiififlit , quod praefata numeratorum ferics pcriineat ad claflcm fericrum rccurrcntium ct quidcm ad ordincm fccundum , quando qui^lcm vnus- quisquc tcrnunus conflatur ex duobus tciminis, qui ilUim praeccdunt; fint ntmpc trcs tcrmini contigui qualcscuniiue A, B ct C; dico fore C — w; B -h A > quae cfl proprictas fcricrum rccurieutium ftcundi

ordinis,

C O N T I N V I S. 9

ordinis , thcoriam aiitcm gencralifllmam hnrum fcrie- rum carumquc vfum infignem pro radicibus omnium acquationum algebraicarum facillimo negotio deter- n.inandis docui in variis fchediasmatis , vctcribus Commentariis infcrtis.

§ 7. Ad normam pracmcmoratac thcoriae condrua- tur pro incognita / acquatio fecundi otdinis jj-my-^- 1, cuius ambae ndices funt

Hac ambae radiccs nos co conducent , vt non folum \alorem termini infinitcfimi feri-^i ncflrae fcd et cu- iu^cunquc tcrmini , cuius indcx dcfignatus fit nume- ro N, indicare poHkt.lis absque intcruentn termino- rum praecedcntium ; erit enim tcrminus generalis feriei

(W -f V 4 -I- w 7/;X N /'/// — V 4 4-7« W\f*

— . — ; +^(. — -. — ; •■

coefficicntes autcm a ct § detcrminantur cx duobus primis (eriei terminis , qui hic funt i et w et qui proucnire debcnt pro cafibus N — i et N — 2 j fic reperitur

I — I

a — -== et § =

V 4 + 7« w l^ 4- + m m *

qulbus fubftitutis fit tandcm terminus gcncralis fc- rici nofirae

Tom.XX.Nou.Comm. B Confir-

jo DE FRACTIONIBVS

Con^rmabitur ifte tcrminue generalis , quoties pro N numerus aflumitur integcr , auamuis calcu- lus fiat latis taediolus pio numeris maiusculi*. i>it

Nz=3^t

{m-\-y 4- + m iiif =:m'+^mni V4 -i- ?/; m + 3 ;w U + v? m)

+ (4- + w')>'C4 + w'), atque pari^-er (»; — y 4- + m mf — w' — 3 ?fi mV^-i m m + 3 w (4 -j- w w)

hacc poflerior quantitas fi a pnori (ubtrahatur , prodit

<J 7// W V 4 _|_ ,;/ 7« _f. ( 8 -f- 2 W »2 ) V 4

quae quanritas diuidenda ert per

• m m

a^ V 4 -i- jH m fi ue per 81/4-1- m w,

quo fadlo prodit fimpliciter , pro tertio termino , m m -\- I qualis eO: i\\ pracccdente para-,rapho , (i ad folos fpecftcs numcratores.

§. 8. Quod nunc attinet ad denominatores , lios pro quouis termino habcbis , fi inter numerato- res (umas fcquentem tcrminum , id eft , fi loco N ponas N -I- I. Sic itaque quiuis dcnominator con- ■vcnicns indici N erit

[m + y 4 + ;« ;a)^-^-'— (;» - V 4 + ;;; mf-^*

~~ 2'^-+-'y4+~;;m

Deniqne fi numeratorem N tefimum diuidas p3r denominatorem N tefimum; habcbis \alorcm fradio- nis continuae N membris ~

a (;« 4- V4 4 ;;; mp — 1 (;;; — T'4 + ;;; mf

</7i -j- V 4 + m m)^-*-'— {ni - V ^^imf-^' * atque

C O N T I N V I S. IX

Atqnc fic habemus tcrminum generalcm pro qualicunque termino fnidionum fimplicium paragra» pho (exto expofitarum , quae aequiualent fradioni continuac totics repetitae quotics vnitas continetur in exponcnte N , quam fradioncm voco N mcm- brem. Igitur Iincc folntio , cx tiicoria ferierum re- currentium pctita , infinities generalior cft folutione fupcrius paragrapho fecundo expofita fimulquc vno intuitu totius argumenti imaginem repraefentat. Ve- rum ad caufam propero principalcm.

§. 9. Quaeritur nunc tandem , quisnam verus fit valor cxprefiionis nolirae , fi fradioncs continuae in infinitum progrediantur , :d efl , fi pro N nu- merus afTamatur infinitus. Dico autem duos hjc effe cafus a fe inuicem difiinguendos , prouti m fue- rit nurrerus pofitiuus vel negatiuus. In priori cafu fit teiminus primus tam iu numeratore quam in dcnominatore infinitics maior quam terminus fecun- dus ; in altero contrarium obtinet, igitur fi fuerit /w numcrus pofitiuus , reiiciendus erit fccundus tcrmi- iius numeratoris aeque ac denominatoris atque fic valor formulae generalis in praecedents paragrapho cxpofitae fit

2.[??i-\-'V^-\-mm)'^ 2

n; — -==-=-— fiuc — — — =^=.

{m + y ^i-^mjn^-*-' m-^-V ^-\-mm'

Nec valor if^e dififert a valore in paragrapho fecundo vbi ahera methodo iuuenimus

S = ::^::^f*^i^;eftfcilicet

-mTn

B z quod

12 DE FRACTIONIBVS

quod fola multiplicatio per cruccm indicat. Qiiod fi fucrit m numerus negatiuus ^ rciiciendus erit pri- mus tcriTiinus reUuus ad fecundum , tam in nume- ratore quam denominatore formulae in praeccdcntc paragrapho inuentae , quo fado habetur

— i[m — V4- + 111 m )^ 2

-=— — fiuc

— [m — ^^/^ + jn mf~^' ;;; — V 4. + ;;/ ;;; '

in qua poftrcma formula fi rn murctur in — w,* ori- tur negatiue idem \alor , qui afBrmatiue valct pro altcro calu , quod idcm in paragrapho quinto dc-- monflraui.

^. 10. Simili modo pertradandae erunt omnes fradliones continuae infinitae , quae vbique perfede rccurrunt pro quauis noua fractione , vnde indoies cxprefTionum ncftrarnm haud parum diluccbit: Hxcm- pla huius animaducrfionis lequentia allegabo.

I. l

T^ CtC. = =^^

II. l

» -I- »

a -+- l

»-t-ctc. + — — I + /3

III.

171 -+- '"

711-4-"»

IV.''

m-+. CtC. ~ — *" -t- V ' "t -f- ?i m

"• "+* CtC. — — m-f-V.n-t-Tnw ^

C O N T I N V I S. la

Y . _	- m-+- Tl m — — n — m -	• n	n				ctc. — v\	«n —	V*	n -4-
	- m V - 1 . m	■+■ n	n.
	m K . 7/1	etc.__ ■ - etc.	Wl »»
VI.			a
	m — — n — m —
	1 -4- V ''1 r.	■■ —	■ ♦ a
VII.		a
	w — V"	Hl —	- « n

Hac variae f()rmul:ie varia nobis fubminiftrant corolkria notatu liaud indigna, quorum praecipua nunc indicabo. §. II. (fl) Ex iribus prioribus exemplis intcr fe coUatis apparct , non licere terminos fradionum , id efl, numeratorem ac denominatorem mutare, et- iamfi valor vniuscuiusquc fradionis inde non mute- tur , atque fin^,ulas fradioncs per:e<flc eodem modo cflc vbiquc replicandas tam ratione tcrminorum qjam fi^norum.

(^b) Hinc ctiam fequitur, diuerfa ab inuicem cfle exemphim quartum ct f.ptimum , etiamfi tradiOMes

— ct — - per (c fumtae alias rede cenieantur inter fe aequales : Notrtur autcm , numeros n et m poni per fc pofitiuos in formuiis noHris et a (olis fignis praefixi'» + \tl — indicari an fint afRrmatiue vel net;at!ue accipiendi. Muratio fradicms - in "'^.

m — 771

ri'Til al-ud t\\ quam tern iforum multiplicatio pcr

— t. Scd r ullae multiplicationc^, quae formam fra- diunis vUo modo ptrmutcft , aLmittcudae funt.

13 3 (<'•) Ob

j^4. DE FRCTIONIBVS

(c) Ob eandem rationem difFcrt exemplum quin- tum a lexto , qiiia fcilicet forma diffcriuu nb inui- cem fracflioncs — et ^ , vtut valore fuo eaedem.

(d) Tanta vis ineft duabus praecedentibus notis, vt valor appofitus in cxcmplo quarto fit femper rea- lis , qui pocell fieri imaginarius in exemplo (eptimo atque idem itnelligendum cft de exempiis quiuto ct fexto,

(0 Lex gcneralis thcoriac noflrae haec eft vt, quando literae n fignum negatiuum praeponiiur, idem fignum fit praeponcndum iiterae n in quantitate ra- dicali , ficuti vidctnr in exemplo fexto ac feptimo : Verum quando fignum negatiuum numero m tft pracfixum , ficuti in exemplo quinto et feptimo , tunc nop. foliim fii^num contrarium , in valore fra- «flionum continuarum , pracponendum e(l litcrae w, fcd integra quantitas radicalis lub figno negatiuo ad- hibcnda efT:.

(/") In folis exemplis VI et VII. emergens va- lor fieri poteft imnginarius ct fit imaginarius, fi fue- rit 7i)>]^mm. De hoc cafu paucula feorfim dicam,

§. 12. Videamus igitur, quemadmodum fradio- nes continu.ic infinitac in pracinemorato cafu fuam indolcm , fiatum fciiicct imaginarium , prodant at- quc hunc in fincm vnicum allcgcmus exemplum. Ponatur n— i et m ~ i atquc adeo n ^ l mvt'. Sic oritur vaior fradionum pro exemplo fisxtn §. lo. „ — ,-)- V — I ^(. pfQ cxcmplo (cptimo — ' ~'^~;:j ;

(^uod fi autem iplic cxprclfiuncs ordine luo cuol-

vantur,

C O N T I N V I S. 15

vantur , pro^rediendo ab frnclione vni-membri, ad frudionem bimembrem , trimembrem , quadnmem- brem etc. oiiuntur fuccefliue pro \'troque cxemplo fequcntes tcrmiini

— I, — 00. o. — I. — 00. o — ctc. In cafu priorc atque

I. -\-- 00. o. I, -I- 00, o. ctc. in cafa pofferiore

atque hae ambne (eries fic in infinitum progrediun- tur pro fingulisi trinis terminis (nbfequentibus , nec adeoque ad valorem fixi:m conuergere poffunt , vn- de non mirum inucntum valorem radice imagina- ria exprimi.

In ipfo limite inter vtrumquc fiatum , vbi fci- licet ell n zz i et w— 2, rciultans ferres termino- -^

rum iua fpccie abquid intermedii habet , quando- quidem pro exemplo iexto inuenitur ierics

' - *. - I, - ctc.

«

quae eadem cum fignis affirmatfuis valet pro exemplo feptimo, cjuaeque proprie non pertinct, fiue numeratorcs fiue denominatores fpecientur , ad recurrentcs : attamcn vterque terminorum ordo hac gaudet proprietare, vt quiuis tcrminus compofitus fit ex duplo tcrmino praccedente demto ante - praecedentc. Dcmonfiruui nutcm in vcteribus Commcntariis, fimili titulo omnes leries , qiiae dicuntur , algebraicas , pettincre ad fe- ries recurrcntes. F,x praememonita lcrie termino- rum pcr fe liquct, fore teniinum infinitefimum ae- qualcm vnitati fiue neL^atiue fiue afRrmatiue fumtae,

prout

i5 DE FRACTIONIBVS

prout fermo fit dc cxemplo fexto vel fcptimo , id quod etiam formulac nollrac appofitac indicaat.

^. 13. Hadcnus de fradionibus continuis infi- nitis earumque valore , in qiiibus perfcdc cadem fradio haud interrupta vbiquc rccurrat. Pro^redior ad ordinem fecundum , qucm ita voco , quando bi- nac fradiones altcrno ordine perpctuo recurrunt.

Ponam duas fraiflioncs qunlescunjue 5. et L , ex quarum perpctuo recurfu formetur fracflio conti- nua in infinitum cxtenfa fequentcm in modum

n

« 4- ctc.

m

H

quacritur \alor huius exprcfllonis cx infinitis fr.K^io- nibus compofitac. Sit rurfus valor ifie zz S atquc puta duos nouos teminos cxprcflioni praefigi fcruatii eius le^^c ; hab.bis

" -4- 1 fiue —5-^-« s_ .

p"^rs m ? -»- m S H- « »

hacc autem mutatio reftituit pcrfe^Hic fracflioncm con- tinuam propofitam vtpote in infinitum cxtcufam. Erit igitur — ^L£_r^-is — — 5^ -^j^^q inucnitur

S S 4- "'P-^^-" S = ^ ac dcniquc

C n — mp — q -^-V^mnp-f-'? — »)^

»771

Ex ifta formula fequcntia dcfluunt corollaria. (r/) Si ponatur ^ — « et p =: «, obtinetur

S — — m -f- V < a _f_ m m M ~ ,

quod

C O N T I N V I S. f"7

quod confrrme cft cxcmplo quarto paragraphi dc- cinii.

(b) 5i ^ ~ o fit S rr ^, , atque fic in propofi- ta exprefrione fradioniim coatiniiarum fola remanet fra<flio prima — , rcliquis omnibus euanelcentibus. Sed fi in valore S accipiatur quantitas radicalis nc- gatiuc , fit Szz—p) qui valor rtiiera hypnthefi no- Urae analyticc fatisfacit , fimul autcm applicationc fua inutilis e(l.

(c) Si rcfcindatnr prima fradio ^ ita , vt ex- prcfiio incipiat ab fradione ^ , indeque prorfus con- tinuctur , vt antc ; tnnc mutabitur valor cxprefllonis mutatusque eadem mcthodo repcritur vt ante ; Sed et absque vllo nouo calculo inuenitur ronueitendo fimphcitcf , in pricjri exprefllone , litcras « et q paniLr atque litcras m et p, atquc fic aher iftc vali r expreflioiils fraiflionis continuae , quem vocabo <r, fcqucnti modo exprimitur,

_ 17 — p m — •'-I-V»p7m -4- (p m ._ n — /f)'

O _ _

Simul autem ipfa argumcnti natura facit S— -^ — , quod cx (ola cxprefll ne pro--'ofita patet , vnde plu- ra compenoia in caicuHs locum inuenient.

§. 14-. Singulje praeccdentis para^raphi fbr- mulae cgrrgie coiurahuiiiur , fi omncs numcratores ponaruir vnitati ncquaics , kruatis denommatoi ibus m er p, quo fado talis ontur cxprefiTio in infinitum continuanda.

Toni.XX.Nou.Comm. C -

nt

tl DE FKACTIONIBVS.

■

m -h '_

P -t-JL

m

P -4- '_

n •+■ ttc.

ijuac fupponit n-zzq — ly hisquc fubflitutis valori- bus , prouenit

S — — — atque 0-:=:

p

t

i!tque fimul , fi inucnti valores S ct o" fubftituan- tur , S — — — , quam fimplicitatem haud expedas- fcm , nifi illam praecognitam habuiflem. Caetcrum ct hic , quod iam fupra §. 1 1. coroU. (0 i" ^afu fimili monui, probe dilpicicndum, an quantitates ra- dicalcs negatiue fint accipicndae vel affirmatiue. Quo- ties tcrminus *-^ eft negatiuus ; atqu2 fi fimul fue- lit tJ '^pp ^ fiuc p < ^ fiunt valorcs S ct o" ima- ginarii.

Excfnpl. 1. dt m—i ct p= 2; habetur

1 _». »_

tnm etiam , refcfto primo mcmbro , fit I

' -^L ' —0" — ~ ' -*-^'

> -f. I a

r-i-t_

Qaod

C O N T I N V I S. i^

Quod fi Tero in ifto excmplo fraftioiics continuac inutentur iii fraiflioncs fimplices (ucccfliue pro rno duobus , tribus etc. nscmbris , fit rucccfrmc

C T II» II rfrt- II» ♦ II

^ *• 5« ♦• TT« Tj- ^l- U »• J« »• TI- 1« ,

Tbi iam quintus tcrrainus proxime acccdit ad vcrum iauentum valorem indicatum.

Exenipl. 2, Ponatur nunc , retcntis reliquis dc- nominatoribus , p — — 5^ liabcbitur

*-_,_ —S—'-^-^. Refedoquc primo

•-*-!. membro oritur pro expreirionc

focia — - -T-\-^\ _

*-*-i- -<T- \ Quod fi fra-

* "*'t _ ,/e. (ftiones continuac

fucccflTiue permutentur in fradiones fimplices , hae faris cito conuergunt ad dctenninatos vaiores S et cr, etiamfi pro priori rautatum fuerit fignum quantitati radicali praefixum , pro altcro retentum , cuius rei ratio peritiores haud effugicr.

Exempl. 3. Sit porro prr — 4, pro qua pofi- tione vtrobiquc quantitas radicalis euanefcit fitquc S~+2 ct 0" — — j. fradioncs autem fimplices pro hoc cxemplo oriuntur fucceifjuc

I. ♦. \. \. \. ctc. pro S et -i. -i. -|. ~\. -/, - ctc. pro cr vtcrque quidcm valor ad praefcriptum acce- dit , at lentius.

Exempl 4, Deniquc ponatur pzz.— 2 , quae pofitio facic

C a $ =

10 DE FRACTIONIBVS'

S — ^~^-_± vcl — I - V- I ac a-zz =-Lj±.^Lr^ •

vtcrquc vakir iiTi.igiiiarius efl , vnde coUigcndum cft, fr.i(flioocs firrplices, fracc osiibus continuis Uicccflluc fubilitutjs , ad nulldm conuer^cre valorein fixum , quod quidcm ^x ipfib (radionibus fimplicibus rcful- ta''t;bus confirinatur, vtpotc quae (unt i. 2. 00. o. i. ctc. pro valore S fimul^ue — ^. — i. 00. o.— 1. — etc. pro valore cr.

§. 15. Eadem , qua vfi (umus mcthoJo , pcr- tradlari poterunt (racliones continuac tcrtii vcl cuius- cunque altioris ordinis , in quibus nimirum eacdcm fradioncs , codem ordme (ub coJcmquc figno recur- runt po(l quamuis perioduin , fiue ex tribus fiue ex pluribus fradionibus compofita fit ; hanc oblcruatio- nem vnico illuftrsbo exeinplo ct quidcm pauhim compendiario. Proponatur ncmpc cxprcfiio in inii- nitum continuata

""-+-- — s.

P -*- L.

'" -+- CtC.

Repcritur talis acquatio S — — '-±t!L

,y)<;

fit , verbi gratia , ;« — i ; p 1:= 2 ct ;" rr 3 , habcbi- tur S ~ — ' -t- y^z ^ qiii valor faciUima appropinqua-

tione contirmatur. (^uod fi vcro a^Tumitur r — pzzm obtincbitur acquatio

mw;SS4-SS^-//i'S-l-wS— WW/4-1 vcl SS-^mS-.i

vlI S = =^^f'-^'"'" ,

prou-

CONTINVIS. fti

pr->u'i iaiicninus §. 2. Efficictur etiam vt yalor cmorjens S fnt pure rationalis , fi affiimatur arbi- traria p r= - ^ tunc enim fit timplicitcr S = ^— ^. Ponatur , excmpli gratia , w — 2; p — — ij r— i; Hc expreirio recle dispofita proueaiet

t

a-+- '

I

2 •

-S=:l

.^ etc. Quotuscunque autem fuerit ordo fradionum conti- nuarum , id e(t , ex qiiotcunque mcmbris perioJus quaeu s compofita fit, valor S fcmper aequatione qua- drata poterit cxprimi

§. 16. Qui praefatam contulerit thcoriam cuni Euluria.vi (viJ. nou. Commcntar. Acad. Tom. XI. pa^. 28.) fimulquc cum ea , quae extat in elemcn- tis AlgebrAe Eulsri vel potius in additionibus huius operis , inulta<> pafTim obleruabit concinfiones , egre- gie coiifpirantes , etiamfi methodo diuerlii erutas ; moium autcm nollrum fuis pcculiaribus aliquanJo gauJere pofTe commodis proxima occafione exponam. Impracfcntiarum non nlio fine ne^otium iftuj fufce- pi , quam vt examinarem, quibus in cafibus cxpres- fion s fraclionalcs infinitae formnla definiri poflint finita fiuc a^cbraica fiue tranfcaidentaU , cuiusmodi e(l Brounkcriana a quadratura circuli pcudens. Sub- fivlium ab induclione expcdabam , adhibitn mct: odo §. §. <5, 7, 8 £t 9 expofita ; (pcrabam ir.e peruen-

C 3 turum

tt DE FRACTIONIBVS

turum ad f-iries rccurri.ntcs altiorum ordinum qua- riicn teraiinus gcncralis (eniper clt in pocclUte , at fpes mc P-feilit : Vidi potius (]uid non fit quam quid fit. Nouas oirus (lim disiiuifitiones ab exemplo , poft periodicas fradiones , fimplicilVimo , ponendo ia fingulis fracliumbus vnitatcm pro niimeratore et nu- meros naturales pro dcnoniinatoiibus fmgulis fe in- vicem fubfequent.bus : Nempe fradlio continua hacc eft ,

1 -f- '_ ♦ -t- ■_

4 -f. tK:

ncc piuo legcm progreflionis fingi poflTe fimpliciorem.

§. i7, Analyfin pro hoc exemplo fic rurfus inrtitui : Commutaui fracniiones continuas in fimpliccs incipicndo a fradione \ni - membri indeque progrc- diendo a.i fiacflionem continuam bimcmbiem , tri- membrcm , quadrimembrem et fic porro , hoc mo- do oblinui fuccefTiuc fequentcs \alores

, 5 7 j« isr sr» fij)6i S660 sie^»t jjjsSt' 5r»#»jfi ««.-

T> 5* i3' ♦5* S'S* 119»' V9'''' *<»o«* >4275J' T*f9^ii' >31i3j»S« Clt.

In his fradionibus tam numcratores quam dcnomi- natores notabih gaudent proprietate communi , cuius opc absque \llo ncgoiio in immenlum continuari poteft fradionum progrefllo : Sint lcilicct fiue in fe- rie numeratoium fiuc ia fcrie denominatorum tret termini contigui A, B ct C, fitque index termini C — « , erit C — n B -h A : fic quintus numcrator 157 fit z^s^^ao-i-^ paritcrque quiutus dcnomi- nator ^25 ^ 5 ^» i3 4- ^o. Gaudet

C O N T I N V I S. 43

Gauckt prjcterca iftn fracflionum feries hac pro- prictiite vt, fi bini tcrmini qualescunque p?r cruccm multipliccntur , ambo produda (oLi vnitate difforant, fllteinis vicibus in exccffu ntque defcdu : Sic fi nu- merator termini noftri dcclmi multiplicctur per dc- nominatorcm vndccimi , prodit numerus

4343594984-81S20 atquc fi numcrator vndccimi multiplicetur pcr dc- nominatorem decimi idem oritur numerus fola vnj- tate au(flus ; lequitur exinde , frndiones mox ficri intcr fe tantum non aequales ; confirmatam habebi- mus hanc confcqueniiam , fi fradlionem quintam ^l^ , param a prima remotam , comparemus cum vnde- cima ^'^'^{It qiiae vltima eft a nobis computata , vi- debimus fradionem priorcm (uper alteram peccare ia exccflTu at vix fenfibili ; Sic igitur acquiefcere pote- rimus praefato valore (|i!*'fi fiuc fradione decimali 0,6978. Dubium non eft , quin detur formula verum valorem geomctrica accuratione dcterminans , conceffis pracfertim quadraturis vcl fignis fummato- riis; at eius inuentio noua in calculo inftituendo r«- quircre videtur artificia.

DISQVI-

DISQVISITIONES VLTERIORES DE

INDOLE FRACTIONVM

CONTINVARVM.

Audore DANIELE BERNOVLLL

§ I.

Cum nuper , datii occafione , thcoriam de frajflio- nibus continuis rununarcm, incidi, "vt fieri ple- rumque (olet , in aliquot huius argun enti proprie- tatcs , qnae vifac fuerunt notaiu digniores , qua^quc partim in fuperiori transaifiione cxpofui : quas rcli- quas fcci exponam in pracfente , non quod aliioris indaginis eas credidcrim , fed quod non nKinincnm fuiflTe indicatas faepeque non rinc matura diiudicatio- ue intcrpretandas putem.

Vfus fraiflionum continuarum faepifTime rcqui- rit, vt in fracftioncs fimplices permutcntur, iia \t hac fiant fucccffiue aequalcs fradionihus continuis inci- piendo ab vnimcmbri inicque pro^re.icndo ad bi- membrcs , trimembrcs et fic porro. iHio dcdi hu- ius praccepti excmpli in priori iransadione §. §. 6. \6 et 17. Obfirnani autcm hac dc re legulam ge- neralcm pro fiMcflionibus coutinuis quahbubcunquc et \tcunquc Tariabilijus.

§ 2.

C O N T 1 K V I S. 25

	f. 2. Fn(fi:ionem	ccrtlrurim Tub forma	> ccn	fi
dc	rr.lo gcncralifllira , q	uae ita fe hnlet ,
	y + d
	6~-h	e T+f (p + ctc.
huius adcoquc rr.cmbra ,	quac Yocabo indlcef,	funt
	c b c d e f ir T ' y'T ' T ' (?■	etc.

Abfit autc.Tij vt dicamus, rem efle merae curiofitatis numeratores

a. b. c. d. e. f. etc.

gener;ilit£r exprimfre , cum fufficiat vnitatcm pro fingulis numeratoribus adhibere. Conusrtamus fradio- ncm continuam in fradionem fimplicem , pro vno , ducbus , tribus ttc. membris , atque fic habebimus fucccfliue fequentes fradiones fimplices

a a e_ cty -i~nc a ^y S -^ a c^ -^ e t d

iT' iTg -f-a* a67-(-£i 7 -+-">.-' <J g V J H- 075 -*- <3 c5 _+- d « d-(- 6i* c^y^l^a-.5i-^atdt-i-a%ye-^ace j_

. a%y i i-y-oyi i-t-adt^a^a.t-^bui-t-a%ye-\-bye-^aie

Apparet ergo , quam fiididiofum foret opus , hafce fr.i(ft:oncs multo \hcriorcs profequi , cum tam nu- ineratorcs quam denomiiiatorcs continue magis ma- gisquc flant comi-ofiti : dccima iam fraclio numera- torem habebit cx quinquaginta quinque mem.bris et denominatorem ex oiftuaginta nouem comporitum. Tom.XX.Nou.Coram. D Atta-

acr DE FRACtIONIBVS

Attamcn non alio fine totum Aifcipitur negotinm , qu:im vt fi-aftio remotior rcpeiiiuur , quac vix dif- fcrat a fradtio.iibus (equentibusi hacc cnim natuni cfl: fradionum continuarum inlinitarum , vt nifi , vcUiti dati opcra , indices i-. |-, i-. ctc. varie iutor(iucantur, ad valoreiTi conuergant conflantem.

§. 3. Cum igitur non minus neceflTarium fit quam operofum , vt fradio continua , plurics nouo membro auda , in fradlioucm fimplicem conuerta- tur^ peroportune mihi contigit compendium , quo omnis in continuandis fraiflionibus fimplicibus labor infigniter fubleuatur, ita vt currente veluti calamo noua quaeuis fradio fimplex formari atque confcribL pofiTit; compcndium iftud gencrale cft , quacunque lege fradio continua progrcdiatur fiue regulari fiue pro arbitrio variata, id e(l , vtcunque progrcdiantur indices fra<flionis continuac, quos vocaui

c b e d e f f

r • G " 7 • ^ • £ • * ^ '

Sinc duae vltimac fradioncs fimplices iam in- ventae ^ et ^ atque denotet ^^ indicem fradlionis

N vi. ' '4'

fimplicis proxime fubfequentis , dico fore hanc no- ■vam fra(flionem — ^~^: Igitur tota regula pro inuenienda noua fracflioue in hoc confifiit , vt nii- merator vltimac fracftionis muitiplicctur per dcnomi- natorem noui indicis atque numcrator pcnultimae fracflionis pcr numeratorem noui indicis : Sic crit aggregatum produiftorum acqiiale numeratori no.iac fra^flionis fiue ~P(p^-l\l/", atquc fi cadcm pianc opvriitiUncuU rcpctatur cum dcnominatoribus inucn-

tis

C O N T 1 N V I S. fl7

tis Q ct N , habcbitnr nouus dcnominator zz Qj^ + N/:

intcgr.i niitern fupcruenicns fracftio fimplcx erit

Pjj-^-jir f^^ aliud nou requiritur , quam vt in-

ter lcnbendum praememorato modo literae 0 et / iuxta ponantur. Secundum hanc normam fiet in praeccdcnte paragrapho fratftio runplcx lexta —

Pnicftantillimum vtique efl; hoc compendium , fin.ul autem (atis obuium , yt mihi \ix pefuadere poflim, a nemine aihuc fuifle ante me animaduerfum. Quod fi vcro , relKftis cxprtflionibus analyticis , ad exem- pla pure arithmctica ct numerica dcfcendamus, quae- \'is fraclio , cx folo \no numeratore et dcnomina- tore conllans , fimplicillimam poflulat mnltiplicatio- ncm per numcrum / et C|).

§. *+. Expofito non obfla.nc adminiculo , tae- diofus requiritur calculus ad fradioncm fimplicem re- iDotiorem determinandam, quoties indices -. ^-. ~. etc.

maioribus numcris iisque in piogreflii fiio valde di- vergentibus exprimuntur. Arripio hanc occaflcnem pauca quaedam dicendi dc famola fracflione continua Brounchcriana , quae omnium prima ab Illuflri Au- (ftorc in fcenam produdta fuit. In hac fradione con- tinua , indices ^ . L.-l. ctc. ita progrcdiuntur

.. j .-.-.-. -^. ca.

Ipfa antem fradio continua in infinltum produda iii- dicare dicitur cxceflum quadriUi luper circulum ei infcriptum , vnitate exprcfllim : At certe fradiocon-

D 2 tinua

it r>E FRACTIONIBVS

tlnua rcfultans pro aliquo indicum numero hrc la- borat incommcdo , \t iion lolum ad mngnos proti- nus perduc2t numeros , fcd ct ipfi \:^lores lento ac vago gradu ad \crum accedant , cuius rei ratio po- fita eft in magna diuergentia indicum ; fola ('pcciofa rouitatis gratia cxprefllonem Brounchcrianam ab obli- vione cripuit : Cum autcm non liceat absque maxi- nio labore fradionem continuam ad magnum termi- riornm numerum euehere ciusqi:e \alortm exploia- re , WaUifiUi corrcdtionem adhibuit pro \liimo inci- ce 5 in quo fubfiftere placet , ct quidem pro cius de- nominatore; hacc corrcdio in eo confiflit , \t, loco binarii , in \himo denominatore ponat binarium au- ftum radice numemtoris : V i huius corrcdionis , fi in feptimo indice fubfiflere hibeat , hic faciendi:s crit — _il2_ vel zz.^ mutato denominatore 2 in 15. Ergo in hoc exemplo feptem indices vcricre» criint

T 5 )5 49 «1 1:1 1*9 ,

Hi indices fubminif\i-ani fcquentcs fucccdiuc fraw^lio- nes fimplices

s • Tj • 75 • 78» • 7734 • ««iS5f • iaiiiii j

quarum vltima etfi corrcda valde adhuc dcflcit a vcro exprcfllonis , in infmitum continuatac , valore. Quod fi vltimae fradioni vnitatem addamus , habe- bimus proxime valorem quadrati circulo circum- fcripti , pofito ipfo circulo acquali vnitati ; vnde de- ducitur ratio quadrati ad circulum infcriptum vt 3683780 ad 2971 loi, quac iuxta minor ert iii ratione proximc vt 35? ad 40. Si in f;ptimo lermi-

no

C 0 N T I N V I S. 2^

ro con-ccllo (qua indcx nntnralis li? mutatus fuit in i^) non ndhibita fuiflct , \Itiina fradio fimplex oritu- ra fuiflTet -'i^'s!s j cx qr.a dcducitur ratio inter qua- dratum et circukim \t 2027025 ad 15^89:10 qLine ratio nunc p:ccat in exceflTu in rntionc proxime vt 27 ad i6. vnde concludo exprenionem continuam Bronnchcrinnnm infinitam pcr fe tardifTime ad fco- pum tcndcrc nec corrccflionem vltimi termini a WalllfiO defcriptnm cfie admodum efficacem : nliani cxponam corredionem , quae vifa mihi fuit haud pa- rum cfiicacior et quae quodammodo inferuire pote- rit in confirmntioncm fingulnris theorematis Broun- chcriaii. Coniiertnmus fracliones fimplices , omiflTa corrcdione Wallifiana, nempe

• • Tf • 7* • ?'* • '77li • liSiir •. isaB^ii

in frndiones decimales , quae erunt

o, 5C00; o, 15385 o, 38i<J j o, ip77; 0,3441;

o, 2181 ; o, 3257 ;

theorcma autem Brouncherianum indicat fracTtioneni 0,2732, ad qiiam progrefllo fraftionum fimplicium conucrgerc et denique tantum non attingere debc- ret. Q.uis huiusmodi approximationem dignam labore exirtimct , cum vel vkimus terminus tam enormi- tcr a vero \alore recedat ? Attamen fi inter fingu- los binos terminos contiguos lumantur media arith- mctica , hnec facile cum theoremate conciliabuntur ; tcrmini intermeJii fic le habebunt

0,3-595 0,i577| 0,28965 o, 27095 0,281150,2719.

D 3 Scpa-

30 DE FRACTIONIBVS

5cp.irentur hi termini in duas chnes , alteram pro tcr.riinis ordine fiio impnribus , akeram pro paribus: priina clalils conllabit cx terminis

o, 32^9 ; O5 ^895 i o, iSii ; fecunda ex terminis

o, ^577 ; o, 2709 ; o, ^7^9 ; In vtraque claffc valorcs pcrfpicuis pafiibus tendunt ad fraclioncm o, 2732 ab IlUidri BiOunGhcro pro quatuor fijiuris erutam , et quidem dercendendo ia prima claffe , afcendendo ia fecunda j praefereuda au- tcm efl daflis fecunda , quia eias tern^.ini multo minus variabiles Aint , atque fufficiunt in ilia trcs termini in confirmacionem thcorematis , cuius de- rnonrtracio diiecta tot Ipinis obfita ell. Quod li au- tcm medJa arithmetica inter fucceffiuos valores fra- dionum fimplicium theorema confirmant , idem quo- que confirmatum habebimus pro progrtlhone fra«ftiO' num fimplicium ipfuum, quia tandem fiunt inter Ji ;aequa]ps..

§. 5. Qnjc in praegreflli difTertatione §. §. <J et 17. expofal , cafus funt particulares regulae no- flrae generjlidimac , §. 3. huiutce poflcrioris trans- a6ionis , expofitac : haec regula gencr;;lis eft pro omuibus qualibuicunque fradionibus continuis , ad indiccs arbitrarios confirudis , iisque fiuc abruptis fiuc in infinitum continuatis. Ergo progrcfiio fra- «flionum fimplicium in gencre tranfcendenter recur- rens efl , quia indices habet varibiles et pertinst ad fccundum ordincm , qnia quiuis terminus cx duobus

prae-

C 0 ^i T I N V I S. 31

praeccdentibus conflruiturj ncmo nutcrn, quod fciam, docuit cxprimcre tcrminum gencralcm in huiasmo- di fcricbus tranlccnjciucr rccurrcntibus , niii (ludiofc cfiiciatur , vt indiccs vel recurrant ptriodice vel coa- flaiuer iidcm permancant , quos caius in prima no- ftrj diffcrtatione pcrtracT:auimus et quos folos efls exillimo , qui fractionem contiuuam in inruiltuiTi continnatam rcddant mutabilem in expredioacm fi.- iiitam fiuc al^ebraicam fiuc numericam. Praetcr hofce cafus nihil habemus nifi adpropinquatioaes aJ Tcrum quaefrtum valorem ; tunc ftutcm dijquiren- dum eft , vbinam confultius fit abrumpere operatio-' nem et quaenam corrccflio adfifberi polHt , minori labore determinanda , fi accuratiorem rei dctermina- tionem defidcremus : Atque in hoc negotio rite con- ficiendo plurima colligere licct adminicula in para- grapho nortro tcrtio , fi attentius perpcndatur,

§. 6. Si intcr mcmbra Vcl indices frasflionis continuae aliquis occurrat, cuius numerator fit — o, hic cafus ctfi pcr fe clarus aliquam meretur atten- tionem. Puta frndionem continuam fuccefTiae mu- tatam in fractioncs fimplices aequiualcntes , quarum duae \Itimae fint rurfus -L et L , fuque -^ i iJex proxime imminens ,• erit proxima fraclio fimnlcx ^K^IrS? (^- 30; pone f-o, habebis ^. Dein- ceps nouus fupcrueniat index qualiscunque - , habe- bis proximam fraclionem fimpliccm relukantem — OT"^^/:' P*"" ^^^^ feqoentc indicc qualicunque ^, oritur fcqueas fraclio fimplex - p,<P>^ ."•_-+- p ? m. -h ^ ^-^ p,c

omniuin

31 D E F R A C T I O N 1 B V S

o

omnium linrum frac^^ionnm fimplicium communis efl: valor q; nec adeoque porro variabilis , quacun- quc lege variabili indices progrediantur : Sint , vcrbi gratia, indiccs pro frndione continuii \. l. '. i. ?-. i ctc. Ex his formabuntur frii(ftioncs fimpliccs ad ducftum regulae §. 3. fcquentes \. \. |. *. \\. \% ctc. Ideni ctiam fequitur ex fradlionibusTimplicibus f 2. cx- pofitis ; fac ibi <" — o, fient fingulae fracliones fim- plices, quae pofl: fecundam fequuntur , ipfi fecundac aequales fiuc — ^-g _^ ^ , fi , deletis terminis in qui- bus eft litera t* , numeratorcm ct dcnominatorem di- ■yiJas pcr eorum maximum communem diuiforem. Sic pro fradlione fimplici fcxta , quae pnragrapho tertio plenifiime cxpofita cft , dcletis praefatis tcr- niinis . oritur fradio

■■e47Jf^-+-i'V5fCl>^ae6 t$H-*'*«$H-«6'Vt'$'-f-t'V<''f H-ae757H-i'7«'/-+-o65-'H-^'j7'

in qua tam numcrator quam denoniinator commu- nem habent diuiforcm

facflaque diuifione oritur fimplcx fradio — g— -^. Egregie igitur congruunt cxprcfilones nofirac ipii argumenti naturae. Sequitur ex iudc quod error , qni cx ab- ruptione fradionis continuas commitcitur , tanto mi- nor crt , quanto minorem habuerit numeratorcm indcx proximus quantoque maiorcm denominatorem. Cactcrum hanc annotationem vnice in confirmatio- • uem formulae noftnic §. 3- adiiccre placuir.

§ 8. Aliam induit frccicm nrgumcntum ro- flrum, cum ictcniis deuominationibus in pracccdcntc

pjr^iira-

C O N T I N V I 5.

j ■^\

parngrapho aahibitis poiiitur (J) — o , id cfl:, cr.m iti indice proxime immincnte ponitur dcnominacor :i=o. Sint rurfus pofl; duas vltimas fraclioncs , qiuis voco. fimpliccs , 77 ct Q^ trcs iiidices proximi ^- ; j;^ et -, ponaturquc Cf) zz o , mnnentibus caeteris qualibuicua- que ; prouenicnt iftde fequcntes fraeT:iones fimplices

M_ P_ M/ M/_X-r- V_l W f X u -+- P ? n. -t- M f?n,

N • Q.' N/' NVX-f-U,i ^^- Nj AH. -t-U-t (A -»- Nj «r

Intelligitur cx dnabus \ltimis frndionibus , qunrc \n tertia fratftione retincndus fit ficlor communis /; ratio ncmpc el% qnoJ eiTcntialitcr concurr.it ad for-, mandos tcrminos fcquentes ; poftquam autem fraclio- nes conrtrudae funt , tunc demum in alios vfus li- cct illas ad minimos terminos rcducere. Exindc ■yidemus , pyimo quod \alor nouae fradionis fimpli- ci? 5 indici rcfpondentis , cuiiis dcnominator ponitur acqu.Uis nihilo , fit :=: n" ^"e — fradioni flmplici ante - praccedcnti ; fic fi fcxtus index denominato- rem habeat nihilo acqualem ; orictur valor quartae fradionis; fccundo quod eadem noua fraiflio non fit

exprimenJa p;r ^- fed pcr -^7 , multiplicando (ci- Itcct eius terminos per numcratorcm indicis uoua^ fradioni refp ^ndenti?. r

; lam vcro qnaeritur , qnomodo ambo haec

praeccpra conueniant cum f rnuilis §. §. 2. et 3. §xh;bitij: id vt appareat vtar formula paragraphi tertiij in qna fiipponam (|)-o; pro hac fappofitione con- trahitur formula g-^neralior in hanc fp.cialiorem

cuins \alor , tacta diuifionc per /, ell quartus tcr- Tonj.XlX.NciuComm. E minus

3+ DE FPvACTIONlBVS

mintis §. 2. expnfuus. ' Sic igitur exprefTioncs no- ftrae ^eneralcs egregic inter le eohaereiic^ venim vt et alteram part.m confirmemus , nunc ruppoi;cmus • deiiominatorcsn y , pro tertia fracftionc rimplici , aequ.ilcm nihilo, vt et aliqnot terminos Itquentcs cxami;;are pofllmus : fradtO fimplex tercia §. 2.

hacc cft a-^V-Z^"7-t-a~ i P«ii'>tur y — o ct prodibit tertia fradiio fimpiex ^, cuius valor e(i — ^ atqus adeo -^z. primae fraftioni fimplici: fi vherius perga- tur , habel)itur pro quarta fratftionc , pofito y— o

cJd^-t-ot"-' '-^~i' 'Sic igitur habemus pro lecunda fracli-^ne ~^_^o'i P'"'^^ tcrtia |y atque pro quarta iTT^iTT^I^ » ^'c hae tres fradiones rediflimc relpoiident reguiae noUnie §. 3. explicatae , fe-

a c

cus atquc ficrct fi pro tcrtia fradione -^ poncre- tur fimplicitcr "--, quia poft duas fractioncs fimpli- ces coiitiguas -£^^^0 et ~ haec cadem regula dat pro fcquente fr:i(ftione fimplice ^rr^p^TJ^AT» cuius ■valor non idem eft cum vero valorc a c a -^. ax,T->t^d » vnicus e(l: calus, in quo conueniunt ainbac exprcilio- res , nempc cum ponitur c — \.

Ei: hifce animaduerfionibus intellginuis , qiiod fi fradliones contnuias fuccefrme omnes trnnsformare Velimus in fradiiones fimpliccs eumquc in fintm quamuis fradionem fimplicem formarc ex duabut pracccJentibus frac1:ionibus iami-.un inuentis , fccun- dum regulam nollram §. 3. dcicriptam , quod , in- quam , non liccat fradioucs fimphccs rcfult.intcs ad

niiuo-

C O N T I N V I S. 35

rr.inorcs terminos rednccrc , ctinmfi id fieri poffit. H:KC omnia vcnim thcoriam de fradlionibus continiiis, fiiie abruptis fiue in iniinitum pro:;rcdiciitibus , fub forma geu(.r:iliflimii fpc^flatam illuflraut.

$. 8. Vnum fupereft hac occafione minime filcntio praetcrniittendum : ncmpe vt omnis circum- fp-tflio adliibcatur, quando indiccs occurrunt ncgatiui. Si aliquis datur index negatiuus , difpicicndum erit an negatiuus ponendus fit ob numcratorem ncgati- \um pofito denominatore affirmntiuo, an < b dcnomi- ratorcm negatiuum pofiLO numeratorc afRrniatiuo ; fin in fradlione continua abrupta vkimus indcx fue- rit ncgaiiuus , vterque modus eodem recidit , at ali- tcr le res liabct, fi dc aliquo indice intcrmedio (crmo

fit 5 tunc cnim intcr fe difFerunt frr.dicnes -— ^ ^^ — /» non pcr fe (ed ob diucrfitatem quam feqiientibus rnembris ni fradlione continua iniiciunt , igitur quis- quc analyfia rem omncm accuratifilme fccum deter- ininet : optime extricabimus quacflionem per exem- plum.

Scrmo fit de fecunJo indice g- ; fi quis hunc indiccm rcduccre \elit ad duos trientes negatiuc fun ptos , nonduni fatis fuam fcntentiam aperuit; an

ponet ^l an —^ \cl cticm — - \cl — - ? Singuli

c.ifus pro rc nati locum h/bcre pofTunt acque ac in- rumeri alii , ■■luandoquidcfTi nihil impcdit , quomi- nus litcris b n 5 numcros fr:i(flos lubfiituan u> : igirur , \t tolbtur omnis ambi-uius, rtquiritur vt

h a pro

z'

35 DE FRACTIONIBVS

'pro quoiiis indice tam numcrator quam dcnomin.itoTi, vinis.]U!sqiie cum fuo vcro figno fimulque cum prae- fcriptis tcrminis , vt, inquam , haec omnia rite in- diceatur et quidem tam ratione fraiflionum per ie ■affirmatiuarum , quam negatiuarum , quand.iquiJe m

-etiam inter fc difTtrre cenfendi funt indices ^-g^^^E^t Poftquam finguli indices iioc nojo exacTte fiicrun praefcripti , crunt , in fradione continua formanda fingula menibra figno rffirmatiuo intcr (e conn{d:nca, Sic fi pro fradione formanda tri - mcmbri propo- nantur tres indiccs i. "^. \ , fiat « =^ i ; a — i ; bzz.— 2;^— ^-^c — 2. et V— I formabiLuiuue fradio continiia

3 >

* "*"— , cuius valor —

quem ctiam formula nollra -^^^rFv-Hrr ( §• ~) rccle indicat ; at fi indiccs propunatur a— i ] a-i; ^—2,; g — — 3 j f— 2 et Y— I , formabitur fradio continua

— ' -+- ^ cuius valore nunc rr — i ,

quem rurlus eadem formul.i nofi:ra optime inJicat ; {[ porro indiccs fint formati cx valoribus a — i ; am; Z»rr-2j 6=^-3; (^' — ^ " y =z i for- mabitur fracT::o continua

1 H 2

P qua5 efi rr: j- ,

idcm-

C 0 N T I N V I S. 37

idcmque valor deniio ex forinula allegata oritiir , ciim tamcii fiaiftio co;itiirLiji

' "^ ~ fit r=> fiiic immediate rurata , fiac per formulum aeftimat;i : Aliiis rurfLis valor oritiir fi rctcntis caefcris d^jioairnationibus ponatur h —^ et S ~ I ; Itj pro fraclione continua liabemus I ;

^ + L

— cuius valor =: i^r »

qnem iterum exhiboi: forraula uoflra fub iisdcm dc- nominaiionibu?.

§. p. Ncc dum fic omnibus libcramur anr.bi- guitAtibus ; poftquam enim pro quouis indice frac^io- nali , tam nuir.crator quam dcnominctor , vuusquis- que cum vcro fuo fiijno fiue ofHrmatiuo (iue nega- tiuo , fuerunt probe dcfiniti , iiifuper definicnduni crit aa talis fraclio fit alfiimatiue vel rcgatiue acci- picnda. Nosautem in praefente pcrtradlatione qucm- ifis indicem (ub figno affiirmatiuo adhibuimus ita , Tt in (raclione continua,, vnusquisque numerator (lib figno -f- additus fit praeccdcnti [dcnominatori , cum

-tamcn indici fignum negatiuum praefixum cfTe prflir; fic index ita fe habere poten — (r) ^^^ ~ ( "~s ^

'vel — ( 3i" )• I" huiusmodi cafibus liccbit pracfatos indices transformare , absque vlla laefione valoris pro fracftioue contioua , modo dcnominator in indice ni-

E3 bil

35 DE FRACTIONIBVS

hil mutetut ; trjnsformatio in eo confiftat -vt pona-

tur _j_ — g ; -f- r i H- ^ i qi^o ^-^^^' omnia aJ hy- potheies et dcnoininationcs noflras parngraphi (ecundi reduifla habebimus. Sic fradio continua

paritcrquc fractio continua

7

Inde deducitur regula , indices fradionalcs ita fcm- pcr cffc pracfcribendos vt in formanda fraflione con- tinua fmguLie fradioncs iub figno affirmatiuo inter le cfTc conncdlcndas in anteccflum fupponatur ; hacc autcm fuppofitio nihil demit vniuerlalitati thcoriac noftrac femperque locum habct.

§. lo. Vix fitis proedicari potcfl neccfTiras , quae pnftulat,vt non folum ad valorem fradioiiis fcd ct ad formam eius , tam ratione fignorum quam terminorum attendamus: Qui indices frndionalcs for- mant , quorum finguli num.cratorcs vnitatc cxpri- muntur , hi minimam argumcnti particulam cxhau- riunt , imo facile (e in errorcm praccipitanr, quando theorcma no'Irum paragraphi tcrtii adhibeut ad va- lores fradionuii) continuarum fucccfiuic dtterminan- dos. Hinc ohferuationcm excmplo illuflrabo,

Troblcina. Quacritur prcgrcfllo indicum fradio- nalium tals \t fraftiones continuae inde formatac fuccefliuc valores obtineant , qui ita progrediantur l. 2. l ^. ^ *. ctc. Sint indices quacfiti l i y j.ta)- ^^

for-

C O N T I N V I S. 3p

formabitur iiide fraclio contintia ,

I

^ ^ -^ + etc. cuius valorcs fuccclluic ponendi erunt nequalcs .'.i-*.^ ctc» hinc deducitur a ~ 2 , S rz — 2 pro duobus rermi- ni'^ initiLilibus : ex his llt pro tcrtio termiiio ( §• 3. ) ty ^u. — i liue y ~— 2 ; deinceps pro termino quano ■' f "^■- r=: * (cu 0 — — 2 ctc. Sic indices quiicfui ^ I V^t-^- ^^^- proueniunt ^. -;.-' ::^.j!.~ etc. iplaque fradio continua hanc induic formani

— i -i- .'

— » -+- .«

— i -*- _»

-' -^ etc.

quac fucccffiue fequentes fubminilirat valores feu fn» (Ilioncs fimplices

I I ? II JO fO j.

»• 3* ?• IS 4** 11 1« >-'•*-•

atque hi valcres planc funt diucrfi a valoribus pro* pofius i-. 1. 1. * j. f. etc. Errorcni proditurum non obfture prouideram ; vcra obtinebitur lolutio , fi qUcicfiti indiccs gcneralitcr cxprimuntur iii^qife vta- rr.ur ad normam §. 3. de(cr]ptam j fint fcilicet in* diccs fradionnlcs quaLfiti ^ h c d e f ..

a • r- 7 ■ «■■ r- (j '^'•'"

quorum ftitim duo priores vulg.iri calculo defermi- nentur qui dcinccps docebnnt tam nnmeratores quam denominatorcs cum veris eorundcm fi^nis, hoc moJo

inue-

4D D E F K A C T I O N I B V S

inucnituf a—i ; b—-i ; C—-1 ; dji—i ; e—~i ; f=^—'^;

fin2;uli aiitcm dcnominatoUwS fuint — z j funt ita- que veri indices

i_ zzl rr_i. izl -rL-l etc.

atque adeo fr.i(flio coiitinua haec crit

24-—. .,

2 -+- — »

s -t- etc.

cuius fucceffiue valorcs Ie(;undum pracfcriptam Ic-r g-m funt II l *,. l |. etc.

Qiiod fi vcro , cakulo vul^ari absque fubfidio paragraphi tcrtii , finguli numcratores ponantur — i atque fucccfliue determincntur dcnominatorcb ^ rcpe- riuntur \cii indices alitcr cxpredi , ncmpe

" L, i —, 1,1.. ^ etc. ■ '

j * — 2 2 ■ — I 2 — 2

tuncque fradio continua fub alia formn, quamuis ae- quiuaUntc , talis ubtinctur

in qua denominatorcs fignui,n altcrnant.

§. ir. Scquitur exinjc |iaiu&mQdi ■ fra^Ttioncs continuas a po/lerlori formari p^fiflc , qunc pio quo- ttrhqne n»om^/rorum riumero dato praefciiptuin <'bti.- lieant valorcni ^ fi in pracfiito cxempio numcru,.s HUmbrofum dicatur N-, trit \alor fi;u;1iuuis cour ""■•■ t.nuac

C O N T I N V I S, 41

tlnnac :=— ^^ — atque, fi fiicrit infinita , afTurgct ad \ni[;uem , ijuod coDforme e(t cxcmplo qiiarto pnra- gni.'hi decMiii prioris difTcrtiuionis , rekiflo cnim pniTio menbro , quod reliquum cl\, fit ——1; ergo funiina fiiiclionis coiuuiuae in infinitum continnatac {\t zz -^ zz. i. Sic quoque pro "valoribus (uccclli-

■^''' !•! 5 f-a-A fiiint indices fradionales t.t-i.{.t i etc Pio \aliribiis i- 5- 1. ?. | etc. repcrientur indiccs i_. --. ^. - '- ctc.

qni fr.idlionem conrinuam in infinitum extcnfiim furn-.anc

"Vt I gi praefcriptae conforme cft. Si velis, \t rc- currentes valores prodcant , J. |. j. |. i. | ctc. j afluiues indices j. |. g. l 5 5 etc.

Qiuccunque fingatur lex , qua valorcs in fcric continua pro^redi ponuntur, fi ifta lex talis fit, \t tcr- iliinus infinitefimus e^inde intelligatur, erit fr.i<ft;o con- tinu:i in infinitum extenfa prac.fiito term:no infinitefimo aequ;ilis et quia non dari fradioncs cortinuas infini- tas exiflimo, quarum valor al^el^raice determinari p(>frit praeter illas, quarum indicts fradionales, ccrto modo , recurrant; oportet , fi icdie iudico, vt pro huiubmodi cafibus , quaefiti indices ftmper defuiaut ia tcrminos pcriodice recurrcntcs.

§. 12. Si quis intcgram iiirc tlieoriam no-

flram confcrre velit cum ea , qnam illnflris yco.aie-

tra , Leo-.karJus Eiients expofuit in rofis comiven-

tari^ tom. XI. pas;. 33. et fcq. ambas metliodos

Tom,XX.jNou.Coinin. F iioilra»

4a DE FRACTIONIBVS

noftras vaLle diuerdis quidem at miniTie cnntrarias dcprehcnjet, fiinulqiie intclligec, quaiii neccfle rit, vt iujicibus tradionaliDUs vtamur generaiius exprellis.

Praelaudatus Audor multa hnbet de eirlutmie tadk'tni qiiadratavwn per fra&iones comimias , at(]ue mcti.ojum docec ingeniclain omnium numerorum intcgrorum radiccs quadratas ad fracftioncs coniinuas r.duccndi : Id vcro infinitis modis fieri potcft , nec eiiim quacftio per fe cll detcrminata : vcrunt.imcn fradioncs co uinuae , quac aJhiberi pofTunt , omncs eius (unt indolis , vt in.iiccs periodice recurrant iidem eodemque ordine ,• viide non male rcducentuc ad ordinem , primum , (ecundum , teriium etc. prouti quacuib pcriodus vel cx viio , vcl exduobus, \cl cx tribus tcrminis ctc. confliterit : Nec ncccffe cft vt pcriodus fempcr a piimo termino incipiat : hoc autcm t:tuio pracfcrendae videntur fradioncs continuae , quae ad Hmpliciorcm pertincnt ordincm. Notctur hic , me alio ienfu accipere tndices ac fecit magnus Eulenis ,• cgo quidem , vt rem gencralius exphcarcm , pcr indiccm intclHgo quamuis nouam fradlionem (Impliccm in fradionc continua cccurrcii- tem , veluti

0 b c li <• f f,tf,

« e > 0 £ 4) memoratus autem Aucflor cum haud alios numcra- torcs quiim vnitatem adhibere condituiirct , per in- dicem intelligit (bhim fradionis denominatorcm pro fubintellcd ) numeratorc i ncc primuin numerum ia tabuli iplius propric ad fraiflioncm continuam per- liutrc ceuli;ndum puto. Igitur vt fcrmone commu-

ni

CONTINVIS. 45

ni vramiir , ncccfTc mihi crit indicibiis Eul.rianis V, e, y ctc. hibditucrc L . '- . i_ etc. Sic qiuindo jTonitiir pro V 7 (ucccrTio iudicuin 2. i. i, i. ^. j, I, ;. 4. mihi fcnbcndum crit , fcruato initiali nu' mcro , 2. T . T . T . I . T ttc. -vbi Incipicns binarius in- dicat numcrum adi!endum fracflioni continuac rcgu-» lari acquc pcriodicac quarti oruiuis I

14-1

i4-r_

4-4-1

1 -I- etc. cuius Ynlor , fi in infinitum continuata ccnfentur, fit — — 2 4- V 7- crgo fi binarius fradioni continuae ad- datiir , oritur ^7— binario eadem fradlione conti- nua auiflo , plane vt cxprimitur in citata tabula.

§. 13. Notetur nnnc , qnod in praccedentc pa- ragrapho pracftitit fr;;(flio continua qiiarti ordiiiis, id quoque praefiare pofTe fracftioncm continuam primi orjinis , fi inodo admittcre \climus numerum fra- fttim pro numcratore vbiquc rccnrrcnte , nempe \ vel 3:4; Si cnim (ornictur fradio continua primi ordiuis

5=3:4

2 + ,3 ; +

2 -h T : 4.

2 -Hctc, dico forc V 7 rz 2 -1- 2 S , vitlcatur in pracccdcnte

F 2 per-

44. r>E FR ACTIONIBVS.

pcrtradionc § 9. formnla IV. ponenJo w — 2 ei frrzs:^; Nec vlliis cft numerns, cuius radix qna- dr.ita non podlt infinitis modis per fradioncm con- tinuam detcrminari , qui;i etiam pro denominatnre continue recurrtnie numeriis fra<flus adhibcri poteft ', Hc fi formctur tradio continua

5 : 2 -4- 3 : T(T

5 : a + 3 ; i^

5:2-+. etc.

inuenitiir V^^rH- a S. Incongrua videbitur Ini- iusmodi fradio continua ; attamcn ideo commcndabi- lis , quia n ox admodum ad vcrum valorcm appro- y>crat : Si enim \el duo fola prima membra in fra- iSlione continua fumuntur ; inuenitur V 7 ~ |t| ; eft autem V7 — 2.6457 ^t sJs = 2. 54.5<J. Sed va- leant huiusmodi fnidiones continuae quantum pos- funt : pcr^o ad alia exempla fcopo noftro magis accommoJa.

Pro V1.3 adhibet Ccleberrimus Audor fraclio- nem continuam quinti ordincs , hoc uiodo

y 13:^:3 +J_

i +_r_

6 + r_ I + ctc.

Hulc

C 0 N T I N V I S. 45

Hulc fubdltul potcfl fraclio contiiiui primi ordinis

y 1 3 — 3 -1- 2 S vbi S — -— ,

3 + t

~3 +_f

3 + etc. Pro V 6t frndione contiiiui vtitur idem Au- Ctor , quae pcrtinet ad ordinem vnd^cimum , cuius^ indices funt

I I t t I I I I I r J pf-f,

pro vnaquauis pcriodo , qu^ie in inlinitum continuati deindeque feptenario aucla dat valorem V 6i. huic fradioni continuae , magno labore erutae , fubftitui potell fraclio contiuua primi ordiuis

7 + 3 ;erit enim y(Jr— 7 + 2$.^

7 + 3_

7 + etc. Nihil porro impedit , quo minus fradlione continua Ttamur prorlus ne^atiua , fiepius eflicaciori, Sic in- ■veuio V'(Jo — 8 -i- 2 S, vbi Sz::— _i_

8-1^

8-1^

s — etc. Si in irta fradlione contlnua acquiefcamus tribus pr.o- ribub tcrminib ^ i.t

Sir ^^ 2 Si:: — ^ atque adeo y 50 z= 8 -h 2 S - ''=^.

Quam longe exadilhmus fit ifle valor , inteliigitur ex tabula logarithmorum ; e(t enim

lo^.y^Q — 0,55^0756 ct lo^. ^;;-=o, 88P0757

F 3 et

4<; DE FRACTIONIEVS

ct cum incertus fit in tabulis numerns \ltimfle figu- rae , nondiim dici potcft^ an rcucra ambo logarithmi in leptima tigiira diffcrant ncc ne.

§ 14. Sic itaque abunde \idcmus totum ncgc»- tium infinitis modis (i:mpcr abfohii pofle fradione continua , qiinm ad primum ordtnem rcfcro: Nec ta- men inde concludendum eli;, non dari aditum ad or- dines nltiorcs ; niCthodum hac de re plenifllmam exhibui in priori diflertatione paragrapho 13. et fe- quentibus ; Vltcriorem eius explicationem paucis da- bo pro ordine fecundo : Si conflruatur fradio conti- nua (ecundi ordinis , cuins ambo indices initiales pt.rpctno rccurrentes fint — ci ^ , oftendi loco cita- to f)re \alorem fraftionis continnac in infinitum continu.itae

C 71—771 p — q -f- V « m 71 p -t- ("< r H- '? •

u)'

Inde h.ibctur , fi quantitatcm fi-;no radicali inuolu- tam dcfigncmus per N , talis valor

,>> - y N — — « ^- w /) -4- ^ -4- a w S.

Iflac cxprefhoncs egrcgie contrahuntur , fi in arrbo- bus iniicibus ponatur numcrator ~ i •> tunc cnim limpliciter obtinetur

S-— ^— atquc VC/^p + VOi^P+aS

fucrit , vcibi grat'a , m— i ct /) — 2 , crit S — — i

4-V3, adcoqne V3— 1 + S , \bi ptr S in hoc

cicttiplu intilligitur Nultr li-diunib continuac, cu-

iuS

C O N T I \ V I S. 47

iiis inJ'ces funt \ . l > j . ', etc. prorrus vt h.ib^t E«- lerus pro liJO iudicundi niodo

Vnicum denique fuperaddam cxcmplam pro frj(flionc continua rertii ordinis , dc qna egi in prac- cedcnte differtationc §. 15. Sint trt^ injices , qui priniam conllituuiit pericdum ; . i . t. ; cx his for- mabitur fradlio contiiuin, cuius valor Srz — 6 + "/4.1 4 ergo V41 — (J -t- S fiue ::_ lenario audlo fradione continua, cuius indices i . i , i* quem valorem etiain indic;it tabula Eulcriana.

SOLVTIO

SOLVTIO QVORVNDAM

PROBLEMATVM

DIOPHANTAEORVM.

A u c t o r c L. E V L E K O.

Problema i.

Inuenire d.vo qnalratorum paria XX, yy ct //, WW, it.i \t tiim (.V .V -\- y y^ (/ 1 x x -f- u ujy) quatn [x X -Vy j) 0' « -^' X ■{- t tyy) fiat numtrus qiradraius.

A n a I y /i s.

1. Primo patct , cjuiciinque bini numcri tam pro .r, y quam jro ;, u fucrint inuenti ., corum ac- que mulupla vclnti ax, ay ct S;, § ?< quaefito acquc (atisfaccre ; ficque probkma ita rcllringi con- vcnict , vt tam x ct 7 quam / ct u fint numeri primi intcr (c.

2. Incipiamns a formula priori (xx-\-yy)[tt xx + ?/Kj'j), qu:ie pofita huic quadrato {x x +yyy x x yj (p p ■+• g '/)' aequalis fit

ttxx-hu uyy zz. x xyy [x x \yy) (( pp - (? ^)* -K 2 P </)') \nde coiicluditur

tx-xyix ipp-qq) + 2iqy)i uy=:xy{y{pp-qq)-tfqx) ficquc crit

tZZXyipp-gq^-^-ipqyyi U—Xy{pp-qq)-ipqxX,

PROBI.EMATA DIOPIIAMTAEA. 4p

3. 1:1.11 pio altcra formi.i!a , cim fit ty~xyj{pp-qq)-\- ^pq/ i uxzzxxj[pp-qq)-7pqv

fiet

ttjy-\-hUXX—xxy\pp-qq)*-^^p]Xy\pp-qq)^..],ppqq-/

+ ^yj [ pp-qq^-^ipqxj ^pp-C'^)i-^ppqqx*

quae forma , quia rnanifefto pcr xx^yj cft di- Tifibilis , abit in

{X x -4- jy) [X xjj [pp -qq;-A-pq xj C^ -v -jj) {pp-qq)

-i-^ppq 7 (.V* - XXJJ -1-/).

4. CiiiTi nunc hacc formn. pcr xx-{-yj ir.uU tipli;;Ua nnmerum qiia.iratiini priicbcre dcbe.it, ha- bebimus fequentcm cxprcilionem ad qnadmtum rc- ducendam: j^.ppqqx-^pq(pp-qq^x'y-{-{p"-6p'qJ-\-q')x"j'-^

-\- ^pq( pp - q q)X v' -{- Arppqqj* quac quiJcm manifeQo fit qu.idnitum , fi x—j', ve- nim hunc cafum vtpotc facillinuim hinc mcrico cx- dudimus ; fiquidtm tt^ra quatftio liuc rediret , \t 2 {t S -i- u U} quadratum efnccrctur.

5. At poncndo illjm formul.un aequalcm huic quajrato

{^pqxx-ipp- qq) XJ ^ zp qjj)* deletis termiiiis p.iribus fit

{p-^Cyppqq^q') xV + m{pp-qq)x/-{p'-r6ppqqM']xy

--^pq^pp-qq)-^'/

hincque ^pqipp — qq^J— i^ppqqx rnJe coUigitur haec (olutio problcmatis : x~2(pp-qq)i j~2pqi hincqus porro t — 6pq'p*+ppqq-\-q') et U^- 2pq(pp^qq)\

TQin.XX.Nou.Comm. G 6.

53 P R O B L E Al A T A.

6. En Qv^o roliitionciT) piiina infinite patea* tem , quoiiia:ii niiineroi p ct q aJ nrb.truirn caperc licet ; reJiidis fcilicet niiirjeris t et u aj minimos ttrmiwos , et qiiia parinde elt fiuc fiac polltiui fiuc neg.it iui lubcbimus

xzzzipp-qq)', t — -i (pp" -\-ppqq \- ?') — | .v.v A^yy y- 2 p ^/ ; u -• {pp - q qf iz-,xx

hincquc repcritur

X X -irY y — ^p* -\- ppq q i- ^ q' ttxx-^-uiivyzzxxyy^ivxi-vvXpp^-qqf^izxxlxvi-yyyjsXx-^-vy) uuxx^ttyy-^ppq j[x'\'^ryjtP^-\-lppTI H*")' -{xx-\-yy ,C,xx-\-yy)\

7. Vt ali.is folutioncs inucniamus , ponainus fuperioris formac radicem quadratam :

z p p X X — (p p ~ q q) X y — 2 p q y y -\- A jj cuiLis quidraco illi acquali pofito prodibit aequatio:

( A \ -^^pq) yy- 2. X(^pp-qq)xy \-[^kpq-^ppqq)xxzzo hic fi Arr+p^ prodit folutio praecedcns j at pofi- to A zz p q fi'

-^- -ipqy -\- ^Kpp-q qy.^' = o ,

quae cum illi pariccr con^ruit.

8 Poiiamus \zz — 2pp proJibit-]uc haec ae- quatio

(p/>4-i/"?)i'»'4-'/'p-'7'7)v/-(2/J7'4-y?).v.v = 0

quiie psr x -f- v diui fa dat

(pp-^zp q) y-{2p q 4- q q) X =z 0

vndc

D I O P li A ISI T A E A. 51

vnde flt

X — p (p -\- <i q) ct y~q (q ^ z p) tum vero U=::pqq{p -i-z q)(qq~h ^pq-+- 2pp)'

9. En ergo aliam folutionera a pracccdcnte diucrfam , ct infinite patcntem , qua numcris t &t u ad minimos terminos rcdudis fit

X-p{p-\-zq); tz=p(q-^2p){pp-^2pq-\-^qq) y —q{q-\-2p); u = ^(p-^2q)(qq-{-2pq+:ipp) hincque reperitur :

XX-i-}jzzp"-\-^p'q-{-Sppqq-^'^pq'-^q*

tt XX + u uyy 1= (p-i-2 q)Xq^ ^py{pp-\-^q)\xx-\-yy)

U U X X -\- 1 tjy z=ppqq(Spp-i-Spq-^Sqqy (xx-\-yy).

10 Pofito A~2pp prodit (pp-zpq)yy-{pp-qq)xy -^ (2 p q - q q) X X — o quae per y — x diuila dat (pp — 2pq)y — {2pq — qq)xzzO ideoque

xzzp{p-2q); t -p{2p-q){pp-2pq-\-3qq) y — q{2p-q); u = q{p-^q)[qq-^pq-\-^qq) X X-\-yy—p" - ^ p' q-^ Sl pqq - ^p q' -^-q'

ttxx-\-uuyy—{p- 2 q)\2p-q ^pp-^-qqT^xx-^-yv)

uux x-\- t ty y - ppq q{5 pp-^pq-\- 5 q q)\^ X-^ryy)^

Hncc auiem folutio a praeccdente ron dif^ert,* reque pofitiones A — ^qq et Azr— 2^^ Iclutionis diuerfas praebent.

I [. Confiant mctVodi , cuarum bencficio cx ■vna folutionc inuenia alme ciui ptfiunt j \crum cac

G 2 ad

5*

P R O B L E M A T A

ad cilciilos nimium intricatcs deducunf. Ita rcpcri- re iicet

y -.{pp -^- q q){pip P -A- q q) ±_q [^ PP -^- q q))

conuenientcs vcro valorcs j^ro t et u pjragr. c fi";- peditat.

S o 1 II t i o I.

In hac lolutione ratio numcrornm x ct y cfl: |-— i. ^''^"■-^ vnde ex cathctis trianguli reiftanguli inueniuntur; tum vcro ratio ~ — '- folutiones fimpliciores funt :

X X ■

XX

^ j vndc

4- 5

X— 5,- y:=^ 2 X— 7,- 7= 5 X=: 5;j= 9 a:— 3^ ;-— 10 a-zr. II j ^-zri^.

6 . Ji'— 15; J— 7 7°. A-— i(>; j'— 5 8^ o:— i6^ >'— 9 .vrr 7; J'^ «8

.V— 13 j /=^20

9

0

10

fzz 91

^=: 24-7 ^^ 399 t— 4=7 /=1147 /= 871 t— 217 /= 273 /r=i443 / — 2107

«— 25

«= 49 «— 25 «= 9 « = 1 2 I

tt— 225

u:=. <?4 z^zr 64

«= 49 «—169.

S o I u t i o II.

Hic ratio numerum .v ctj' cft -zz^^JJ;''?' numcrorum / ct « vero ± — fli^-'l^^-?--t;-f-±^L'?\) fi numeros x ct / vt datos Ipcdcmus , ob

ppy-^-^pqy^qqx-^- ^ p q x , rcpcntur

Vndc

D I O r H A N T AE A. 53

vnJe numerorum x «t y chanider in hoc co.^fiflit , vt X X — X y +j'j fit quiiJratiim ; cuiiismodi nums- ri cum facilc inueniantjr j fit x x — xj i-yj — zz ; erit-]ue

t. — 'L^^Ld^ - — ^ . fcu 1 - ^^ ;

tinc fit

(x: -/) (- + x-ij] ~ [z^x-jy^zz-x-j) {z -.V) (z+j-2x')

^z+j-x^^iz-x-j)

Tnde M-JH-i^) — g-t-y — y Deinde eft

hincquc tandcm elicitur

_t_ . (z -(- a — y) fa s_— _*+:>)

u (2 _j- 3^ — x; (2 a H^ * — >)■

Sicquc pro x ct y eiusmoJi numeris inucntis , vt fit rationaliter V (.v x — xy -j-jy) zz. z capiatur : t^iz + x-fiiz-x+y^^xx + rj + ix-j^z u~ {z+y-x]i2z-y + x)z^xx+yy-{x~y]z. hinc obtinctur

ttxx+uuyy-:{xx+yy)[xx-ixy+yy-\-(x+y)zY uuxx + ttyyz^[xx+yy)[xx-^xy+yy-{x+y)z)' \el etiam hoc niodo

ttxx + u uYy—-Xxx+yy) [x+y + z)\\z- x-y ]' uu XX + ttyy—\' xx+yy){ x +y - z )\ ^z + x+y /.

Num autcm quo facilius .valorcs pro .v et y idoneos

G 3 repe-

5 +

PROBLEIMATA

repcriamus, fpcdemus .v vt datum ac ponamus ii—y—v entque

\bi pro quouis valore ipfius x aflunito cafus integri pro y (unt crucndi : notancum vero cU, pro .v nume- rum imparitcr parem afliumi non pofle,quia^' quo- que fierct par :

X

i- +

+

+

3 3 5

5 5

7 7

7 +

91-

91 + II —

13 - 13 1+ 13 33

— I

5

8

8

16

21

8

15

33

40

15 56

65

24

35

85 96

35

481 o'

+ «33!»

7	t
45
7	19
7	34
ly	340
'9	81
13	»54
13	85
37!	1309
37'	214
^3	99
61	3591
61	445
31	891
3'	301
' 91	8C41!
91	801
1 43	1729
43	404
1C7	T5730
1 1 1 * /	»3^9;

u

1 1

54-

55

59

3S5

41

l8p

171

1435

190

374- 3S61

194 1045

695

853^

335

19S9

1161

Froblcma

D I O P H A N T A E A. 55

Problema 2.

Tnu?nlre duo qiiadratorLi 11 piria xx,yyet tt„uu, vt (^/.v.v-i-««//;(«/^.v.v4-;//; ) fit numcrus qua- drJtus.

S O 1 U t i O.

Hoc problemi caiidem (ortitur folutionem, quod praecedensi , idcm )ue qu.itcrni numeri pro .v, >', t, u inuenti (ati5f.iciunt. Inde ergo folutio limpliciflima cft

X—2 ;}'—$; t— II i uzz^S

cx qua fit

tt xx\uuyy — %^.9. 169 ; uuxx-^ttjj— 34-^2 5 iJeoque

( U .v .V -H // uyy ) ( // « v x -^ f / k >- ) = 3 4-' • 3 9'. - 5 '• Ceterum haec folutio non folum ob cam caufani tantum elt p.irticularis , ob quam talis erat , fed etiam hoc problema infiaitas Jolutioncs admitterc \idetur , qu.ie praeccdcnti non conueniant. Ficri cnim potcll , \t hacc fonnula

( t txx -k-uuyy)( uuxx^ ttjy) fit quadratum , etiamfi ncutra praeccdcntium ( A-.v ^yy ) ( / ; .va; + uuyy)^ et {xx-\-yj ) ( uuxx + ttjj) fucrit quadratiim , cuius rei vnicum excmplum dc- diflc fnfficiat :

.v = 97 3 ; J=:2(>3 : ^ = 973 5 u—\?,4,i cft cnim

a//.v.v-l-/0>' = --2 5- 2(S3'.973' quadratum dupHcatum //j:A- + tt«j7-2. 25. 14.1793' quad.iaium duplicatum.

En

55 PROELEMATA

Hn aihuc riliam folutionem latius patentcm X zz :^ n -i- 6 m m n n — in-^ i — vi x

cuius inuentionis latio facile inttlli^itur, pofita cnim t~mx et u — ny fit

ttxx-^-uujy—mwx*-^ nn/ et tiuxx-\-ttjj:z:xxj:y(itar,:^nn) ficque ad quadratnm reduccnda cfl hncc formula

{m m -h n n ){ m m x" -^ n n y* ) quae fadlo x^^v-i-z ttj^ — v — z aJ iftnm ful-Jtio- nem pcrducit : hinc autcm pracccdcntes folutioncs iion obtincntur.

Pj^oblciria 5.

Iniienire duo quadratornm pnria xxyyetttnu, vt tam hic numenis t i x x -\r u ujy quam illc Ityy-^-uuxx fiat quadratus.

S o 1 u t i o.

Ex modo tradita folutioiie froLlcmatis pracce- dcntis Iblutio huius facile adornatur , pro m ct n ciusmodi numcris fuiTicndis , \t 7nm-\-nn fiat qua- dratum. Sic fi fiat mz^^ et «—3 rcpcritur

.V— 851 , t — 3 4c-f

j' — 1551 , «=3(^5 3.

At cx problcmate piimo multo concinniorcs folutioncs impetrantur , quibus adco practer biijas pracfcriptas conditioncs et hncc tcrta r.dimplctur ; \t xx-\-yy fiat ctiam quadratum. At folutio fe- cunda primi problematis \num pracbct cafum , quo xx-^yy fit quadratum fcilicct

x—S-^y— J 5 i / z:: i;p ,• « = »90

Yude

D 1 O r H A N T A E A. $7

rnde fit

1 1 X X -^ u uy y zz 2*. 3*- i7*- 29* tt y y -A- uux X— 5'. 5*. s'* 17*.

Si infiiper adJita fuiflet hacc conditio, vt ctiam A- X — A- j -h > J foret qufldratum cadcm (olutio rcgotium conficcrct, Huiusmodi autcm folutio- nts clicentur jquiierendis numcris x ct y vt haec exprefllo

x' ~ x^y-^-i X xyy — X}''-^y* iiat quadratum

ad quos porro \'t antc numeros i ct u inutftigari oportct,

Occafioncm hoc problema Diophantaeum tra- ftandi prnebuit problema Gecmetricum a Schotenio propofiium , quo dntis in iriangulo bafi , perpendi- culo et rntionc larerum ip(;i latera quaerentur. Problema hoc geminam admittit folutioncm, quarum \traque \t pracbcat Intcra rationalitcr expreffa , negotium ad problcma iflud Diopliantaeum pcrduci- tur. Si cnim bafis trianguii ponatur zr fl , perpcn- diculum m ^ , et hucrum ratio nr.n ; vocatis ipfis l.ittribus mz et nz^ primo neccflTe efi a et b ita cxprimi

a — {mm—nn)(xx-\-yy) et b=2mnxy,

tum vcro pro z hacc duplcx cxprcfllo rcperitur:

z—V(,xX']-yy':,{{m-n)\xx-+ im + n"yy) ct

t;— V (^.r-l-jy; )(( w + «)' A-.V -i- ( w- «j jj)

Tom.XX.Nou.Comm. H quae

sa pro3Le:v1ata Dio:^n\NrAEA.

qaie vt ambae fi.ant rntionalcs fiido m-\-n-bim-n-ii nnfcitur nodrum prublcma Diopliautiieum. Cuius crgo cafus fimplitidimus erit fumto

j;=3; J=^S ; / = 45 ct ttirii , ▼ndc haec nafcuutur data : rntio latcrum m : n zn zS : 17 bafis trianguli « nr 33 ,• et pcrpendiculum —28 t Ynde reperiuntur ipfa latcra : v,l m z — — et n z — ti vd m z — ~ et n z — ~

i s

flue in intcgris fumta

bafis 0 — 495 et perpcndicula ^—420 obtinebuntur latcra rationera 28 : 17 tcnentia

▼cl ?n z zz: 700 et «^—425

vel w«— 1092 et nz-s:^CCZ'

SPECv^-

c

SPECVLATIONES

ANALYTICAE.

Au(flore L. E V L E R O,

nm niipcr inuenifrem intcgrnle huius formulae differentialis -, , fi ita capiatur vt

cuanefcat porito .v — o, tum vcro ftiitunrur a' — x , aequari huic valori : l^:*i-i: haec integratio eo ma-

gis attentione digna mihi videbatur , quod eius ve- ritas per nullas methodos hadenus vfitatas odcndi pofler. Quamobrem nuUum plane efl dubium, quia ea phuimum in receflTu habeat , et ad muha aHa pracclara inucnta in Analyfi perducere queat. Haud igitur ingratum Geomctris fore arbitror , fi nonnul- las fpeculationes quae fuper hac formula fe mihi obtulcrunt expofuero.

$ I. Quoniam ifla integratio fe ad omncs plane exponcntes pro literis a et (3 aflTumtos cxten- dit , atque adco valorcs imnginarii non cxcluduntur, ponamus a — «V— i, et ^ -zr — nV — i ^ critque a"— A^— a"^"' .v~"^~', quac ft)rmula cum redu- catur aJ hanc : ^" '== v— . _ ^— n z»:v— . ^ notum ert eiu? vnlcrem eflfe — 2 V— i fm. « /.t ; quo valorc fubiiituto prodit

n V— T r^xfin.tlx. — 7,_j_tV— I

*> IX — ' T~r^^::^i'

H 2 Conflat

^o SPECVLATIOrTES

Condat antcnn huiiis formulie /,-^-^£7 valorcm efTe 2 V^— I Atang. «, quaiidoiuidcm lumto n va- riabili eius diffcreiuiatio dat

J ; I -4-t V — ' a d n V — i

I — fi V — I ■ I -f- n n '

cuius integrale manifefto ell xV — i A tan^. n; hinc igitur adipifcitur (equens Thcorema :

Thsorema i". Ifta formula intcsralis jt^j^jj»

a termino xz=zo \sque ad terminum x— i exten-

fa exprimit arcum circuli cuius tangcns — i ^ vnde

fymto «1= I, erit /ii^ili.*-fi — ^- , denotante 1: fe- niiperipheriam circuli cuius radius — i.

§. 2 Quamnis autem haec integratio ex no- fira forma geuerali , quae aliis methodis inacccflj videtur, fit deJucla : tamcii eius veritas per rclola- tioncs conluetas fjquenti modo oikndi potcrt , fic- que ex hoc cafu integratio generalis eo maius fir- mamentum accipiet ; Cum enim per leriem lufini- tam fic

nl X

J i X ' ^ I. 2. I I. J. i. «. t

confiat auccm efTe

fdx{lxyzzxilx* -2.fdxlx — \-{lx)' — ixlx-\-2. I r, quae expretrio pofico x — i reducitur ad 2. i i fimi- li modo fiet

fdx ilxYzzx 'M' ^fdx [Ixfzzx (/.v)*-+.v(/.v/+4- 3 fdx'Jx)\

quac

A M A L Y T I C A E. 6t

quie p')rito X z: s oi l i — o pr.iebat 4.. 3. 2. i ; eo-leaTiue iti)1(> crit f i x (J xf — 6. 5. 4. 3.2. i. Hi» i^jitiir fiii^uii» valorijji i.itcj;ralibiis iatraJactiii proLieniet

- ' "* • _ « ... ^n^ « — Il5

(

H- f - ^' -f- etc. cuiiis fcrlci fumma manifcrto efl A tang. ;;.

§. 3, Hic cafus nobis andim praebet ctiam hnnc formul.im inregnlem inueftiganJi /i^ii^i-*; quae quiJem non immediiite in noftra forma gene-. rali' continetur ; et quia e(l

cof nlxzz. I - "?"''- -h ""ISL^ tJlJ^ \- etc.

I. : ■• 2. Z' * I. :. 3. 4. 5« 6

ex priaio tcrmino oritur fp^ , cuius quidem valo-

reip. oflcndi cflfe ialinitum. Pro fequentibus autem \

tcraiiniii erit

Jd xlx z=. X l X —X — —J et /^.r(/.r)' — — I. 2. 3 et

fdx[lx)^ .— - 1. .. 5 etc.

quibus valoribus fubHitutis obtinebimus

/d xcif' nl X fd X , nn n' , n" n' — T7 —' Tx'^ ~~T ~^T r»

quae expreffio manifefto reducitur ad hanc ;

Quia autcm primus terminus h.inc fammam reddit infinitam , hinc fubtrah.unus aham fimilcm

et habcbiiiius

/d X (c:>/. ^ Ix — ^^f.mlx) i / i -f- " "^ l * t * I -^ 171 n»

H 3 •tque

<5a SPECVLATIONES

stquc haec integratio non minus notatu di§na vide- lur quani praeccdens,

4. Cum autem in genere fit cof. a- QoC b^ 2. fin. e-±^ fin. tr^ erit cof. « / .V - cof. 7« /.v :=: 2 fm. !l=tiL / x fin. "^ — "/.v, ita vt fit

fui. !:^' / ji- fin. '"-^ . H- « «

/^ A- 1— ^ = i 7

/ .V * I -I- w/ ?« '

<]uod fi ergo ponamus mzz:p-\-q ct n—p-q fequens adipifcemur theorema maxiiiic notatu dignum:

Theorema 2. Ifta forma integralis /fl fin. p l X fin. ^ / .V eft =z U '-^tll=jm ,

fi fcilicct iutegratio a termino .v — o vsque ad ter- minum .v — 1 extcnditur ; quae intcgratio co n/agis eft notatu digna , quia in ea nullus arcus circularis occurrit , etiamfi priorcm in fe compkcli vidcatur , quod autem fccus fe habet , quia {\n. q l x ad vnita- tem reduci nequit quin fimul quantitas q rcddatur variabihs,

§. 5. Operae igitur prctium erit inueftigarc, quomodo ctiam intcgrale huius theorcmntis cx fbr- ma noftra generali dcriuari queat. Hunc in fincm confidcrcmus iftam formam intcgralcm

quae in has duas refoluitur

cuius

A N A L Y T I C A E. S^

cuius prioris valor eft /(*J-1+li), pofterloris. vero /(«-+4^), iti vt babcamus

Nunc igitiir ftituimus azzpV—i ct |3r:— pV— i, deindc y — qV—i et (^ — — f/V— i, vt fiat

.r*-x'^— 2>'-xfin./)/A;' et .v*''-^;^— aV- i fin.^^/i;

fic cnim noftra forma integralis induet hanc for- mam — 4/^^ An. p /a' fin. y /a:. Pio cius antcm vnlore repcrimus

a+Y+i—i-\-Cp-q)V-i; (3-l-(5^-t-i=rr-(p+<7)y-i;. (3-ty + i — i+(7-piV-i; eta+<5"+izri+(p-<7)y-i,. qiiibus valoribus fiibfcitutis valor integralis prodit / r_-^- 'a-+l!iI'^ — — 7 /'-H^p — ^?)*)

vnde manifcfto fequitur integratio ponremi thcore- matis

f^i (fm. p Ix fin. f / ^) = W Cr^7-:f >

§. 6. Hinc occafionem arripimus etiam hanc formam gcneralcm euohiendl

cuius valor erit

— K"--^"^ -^ '1 1 /C«-t^_dt_L^ — 7 («-4-7 -4- Ofg-^-y-f^t)

— ^p +7-+- .^ "^ * S3 -I- 5-+- i^ — ' (i}-+.7-HTH3^ J-t- 0*

Nunc itcrum faciamus

a Z3 p y — I et & — - p y - I j tum v<:ro

y^qV — 1 ct J — — ^y— I,,

fiet-

<?^ SPECVLATIONES

fietque

ita vt ipfa formula integrulis orintur

4 V - jJ^Cm.pl xco^.ql X. Pro valore autem integrali babebimns

vndc valor iniegralis prodit

Eft vero

^C :-^; Jft? ^ ) = ^ V - 1 A tang. (p 4- ? ) Codemqne modo

^■^--^Et =^ * ^ - I A tang. Cp - ^n qu"bus valoribus fubflitatis refultat irta integritio :

/'^j^Cm.p/xcoi'. q Ix = lAtan^.{p -\- q)-{- 'i At:aiv^.(p-^). Cum igitur fit ingenere

A tang. a-^ A tang. A = A tans;. ^'j^^^ crit fumma arcuum modo inuenta mAtjng. — *f- — ct valor inteeraiis iAtaner '^ ; liinc fcuucns

S ^«— PPH-1'2 ^

Theorema 3, Ida formula intcgralis

/j^ fin. p/ATcof. y /a:

9 tcrmino a* r= o vsquc ad .v zr i cxtenfa acqualis cft huic valori :

; A tang. 'f^ —

ANALYTICAE. Cj

f 7. Qiiod fi crgo fiimamus q~pi ob fin. p I X co(] ^ Ix — ,Cin. i p I x , prodibit ida integratio :

U^ fin. 2 p /.t =1 'i A tang. 2 p ,

id qucd prorlus conuenit cum theorcmatc primo ; at vero etiam ingencre ad Tlieorcma primum rc- duci potcft : Cum enim fit

fin. <7 coli b — s fia. (a -i- b) -\~ ^ fin. {a — b) ,

formuh nofira in has partes diuiditur:

i/f^ fm. {p-^q)l X 4- i/fl fin. {l>-q)lx.

Prioris igitur partis valor erit ex theorematc i A tang. {p-\- q) ^

poftcrioris vcro paitis — i A tang. (p-^) ,

quae (orma vtique reducitur ad eam quam hic dedimusi §■ S. Nunc autem integrationem noftram ge- neralcm

aliquanto gcncralius ad angulos rcdncnmus , poncndo

vt fiat

A-«-.i«-.v'"(a''-^-'-A-'' >'-')-- 2 V-iA-^fin.r^/A-j tum vcro erit

tt-t- I • -4- m _4- n V — I

C -(- 1 I -t- 17) — n V — 1 *

quae ^raclio pofito «— it(w+i) reducitur ad hanc 1^,^;Z:. Ea vero

^^.JZ-^^^^^^-iAtang./^^iV-iAtang.^. , -. Tom.XA.iNou.Cumm. I fic^uc

66 SPECVLATiONES

ficque impetramus feqaens theoiemj :

Thcoremz 4-. Iil.i formuLi inte^ralis ril x^ fin. n 1 X

J l X

a termiiio a: — o vsque da tcrminum ^— i extenfa fcmper aequalis erit Iiuic valori : A tang. _!!_-, quoJ

theorcma fumto m^ o ad primum reducicur ^ vbi inprimis notatu dignum occurrit, quod , quotics ^^^ cundem habet vahirem , totics etiam formae intc- gralcs aequalcs intcr fe euadunc

^. p. Verum ctiam hoc theorcma in gcnere ad primum rediici poted. Si cnim ponatur x'''-^'-^ erit

x-^^ dx— -^ et Ixzz -^^-

his valoribii& fubnitutis fiet

quac cnm fimilis fit primo theoremati , cius valor " manifefto eft rr A tang. ^^^^ ;

quoniam autem hic pofuimus x^-^^—y-> ambo ter- mini integrationis hic etiam erunt y — o et y — \.

§. lo. Pcr hoc crgo thcorema , cum (\x.

A tang. \ -H A tang. \ — A tang i = T ,

pro priore erit « =: i et 7« — i , pro pofteriore vero «=: I ct m^i, hinc igitur habebitur ifta in- tcgratio :

/J_^(A,'4-.r.v)fia./.¥zi7.

Deinde

ANALYTICAE. 67

Deindc cum per fericm infinitam fit

^zz A tang. : -+- A tang. i -{- A tang. A -f- A tang. -^s

-H A tang. j', 4- etc.

cuius fcriei terminus generalis efl A tang. -i- , habc-

bimus ha'ic intcgnuionem fatis mcmorabilcm :

C]nod eo m^igis e(l notatii dignum , quod ferics in- finitn x' -{- x' -i- x" -{- x^' nullo modo ad fummam finitain rediici potcrt.

§. II Scd rcuertamur ad nofirara integratio- nem principalem , qua cft

l X

cuius vcritatcm etiaai iioc modo ofiendere licet ; ciim fit .■,« — t*'^ denotantc e numerum cu.us loga- ritnnuis hyperbolicus — t , erit pcr fcriem infinitam

a,'" — I 4- ?-^ + «'^' ' ^ }L 4- o^llllJl 4. aM 2 X y^

hincquc coUigitur fore

x^-x^-ia-^y-^ + iaa-^^yi^-^-Ca-t-y^/^^^l etc.

quae fcries per —_ multiplicata ct integrata , ob

fa X ( / A' )" — + I. 2. 3. . . M (\bi fignum lupcnus \alet , fi ?; cft numerus par , inferiiis fi impar) , pracbet pofito .v— i lequcnttm Icr.em :

S 3 4 *

quac (cticb, manifcfio praebet

/(iH-a)- /(i + e):i:/«-^L.

1 2 §.12.

6$ SPECVLATIONES

§ i2. Qiio valor huius formiihie ruccimflliis cxprimiitar , loco a. et S fcribamus a — i et S — i , >ft habeamus

Quod fi crgo rumamiis arri?'^ ct § — f" , nancifcc- mur fcquentcm iutegrationem iutis concinnam:

^m ^«

f dx / ^ ^ X ):=zm — H.

§. 13. Inucftigcmus nunc integralc huius for- mula difFcrcntialiS

— I — X -T" s, — A ~\- A etc.

I +a-''

colli^itur hinc integralc quaefitum

'r ' e^ "^'e -t-'-i 'p.-^-i^» vnJe nancircimur fequens thcoren a :

Thcorema 5. Kui formula intcgralis

a tcrmino .v — o vsque ad terminum x— i cxtcnf» femper acqnatur Ituic formulau logarithmiCae :

7 *_ € -<- g tt -t- ^ n 6 ->- : n * "'-.^^'L ctC £ *a-f-u*e-t-2i"«-t-j'i'6-»-»;i

§. 14. Cum igitur alibi dcmonftraucrim> huius proiucfli in intinitum continuati

" ( "^ H-'" ^ a-f-il! e_;_fe-t_fc a-f-]^ c_f-J-i_->

«-t-« 6-+-/i('e-t-«-f-k'i>-t-a((*« -t- 4 -+- i k

valo-

ANALYTICAE. 6^

Talorem acquari huic cxprcflloni

/■ — it

applicatione aJ nouram cariiiTi fid.i crit «— a, b — ^ ^ kz:z n , k — 2 n

hincque valor nolUi produdi infiniti fz^^-^dzCx-z'") '"^

/ i-* - ' r/ S ( I - ii'" J = ''

quac ambae formulae integralcs a tcrmino « — a \s.]uc ad terminum z — i iant extcndcndac , atquc hinc colligimu* fe-iuens theorema.

ThiOrema 6. l(h formula integralis

/" — T" ( n~) 1 ^ termino .v— o vsque ad termi-

num :»: — I extenta acqaalis eft huic valoti i^- , exifteiite

P— /s*"" rt^x; ( I -s^» ) '^' et

Q^—fz''-' d z{i - z"" y^

dum fcilicet etiim hae formuLic integrafes poflcrio- rcs a teriTiino s — o vsquc ad tcrminum z ~ 1 tx- teiiduntur,

§. 15. Sumamus igitur «— i , vt formuLi no-

fdx a;* — .'.' {[ti integralis fiat — ; — . '■- ,

X l X i -^- y.

13 ac

70 S P E C V L A T I O N E S

ac tiim erit

V—fdzii-zz) = et q — Cdzii-zz) ' , vnde pro a ct ^ fequentes ca[iis euohumu'?. Sit primo a :=■ 2. et 6 =r i erit P — A fin s - - 7 et Qms — i> i^eooue — — ^ vude colli^imub fore

J dx . *_-^ ^ / !L.

§. !<?. Sumamus nunc c. — 3 ct ? — i , vt fiat itaCa-— I ) hincquc formula noflra

integralis crit/y-|(.v- i ), cuius valnn.m nouimus effe n: / £ at vcro ex formula noftra mMurali ent

V:^: iti^^^ldzV^-zz^f^tl.^-JJrlU At \ero pcr rcdudioncs notas cft

r z zd z — 1 f d z

■> V 7—-Z z ' V 1 —x. - '

ficque erit

O — ' / ^5 — • •"

vnde fit ^ — (^, qui \aIor [perfcflc congruit cum ante afl'i^naio,

§. 17. QuQ iam in quantitatc P non occiirrit cxponeiis a , in altcro vero (^ tautum S occurrat , (Uf3Lrius tiicorcma ita iii duas partcs dillribucri; licc- b.t , vt iit

Jr;,-—n = C-irz^-'dz{i-z^'^) - et dx x^ - • L- '5

Jjx-i:^n-C-lfz''-'dz(l-Z-^) -

vbi

ANALYTICAE. 71

\bi C denotant ccrtnm conft;intcm , qnae autem in difFcrcntia dnarum huiusmoJi formularum integra- lium c calculo egreditur.

§. 18. PofTumus ctiam noftram formulam in- gralcm principalem

' Xl X ^ ■' 5

ita transtormare , \t in ea exponcntcs infiniti occur- rant , quae ob hoc ipium attcntione non indigna vi- dctnr. Denotet igitur i numerum infinite magnum,

I

et quii /.v ita exprimcre licet, vt fit /.r — i(vV' — i), formula nollra hanc induet formam :

/— T (;i'-.^ ) = /•-..

fX[x^— I )

Nunc igitur ad exponentcm fraflum tollendum fta-

tnamus x^ — z ^ vt (It x-s', hincquc ^ — '^f tum vero x^^-z"^"- ct .v^-2^' , er quia adhuc iidem tcrmini integrationis habentur zzlo et ^— r, hinc fequcns theorema refultat ::

Thhorema 7. Denotante- i numcrum infinite magnum i(h formula integralifr

A f ( ^a' — -61

a termino z — o vsque ad terminum srri. extcnfi fempcr aequalis eft huic valori /|-. §. 19. Cum fit

2«'

eric

72 SPECVLATIONES

erit f — - — — +

■^ Z{Z- O 0.1-1

eodemque modo eric

i^'dz I I I I

J z[z-i) ^i-i 6/-2 io;-3 fe^-4 vnde p.itet, diffeientiam haium du.irum (crierum efls /?- , ita li luerit a. ~ z et §-i prodibit ifia ia-

tegr.uio

dz[z''-z') I I r I I

f—, -^ n + -l- +— fctc 4--

"^ Z\Z-\) 0.1-1 2i-2 -^-3 2/-4. <

quoniam foquent.s termini per feriem pofteridrem tolluntur. Conftatautcm huius fcriei luinmam cfic h,

§. £0. Plurima ndhuc nlia confcdarui ex ifii intcgratione memorabiii deduci poHcnt, quibus autem hic ncni imnK)rabor : lcd potius ipCam Analyfui qune ad hanc integrationcm pcrduxit accuratius per- pendam. Confidcraui fcilicet potcfiatcni x^ , cuiu» cxponcns w pro lubitu fiue -vt conftjn» fiuc \t va- riabilis fpc<flari queai , et cum fit

t" dx _y^

idroque fi pofi integrationem fumntur A'=ri erit f^ x^ — \; quae formuhi trgo lundamentum con- ftituat vndc lequentia deduccmus.

f. 2 1. Hanc iim fdrmulam pcr du mulripH- catam intcgremus , fpcd.ita x \t confiante, et cuia

luaima

ANALYTICAE. 73

x""

fumma f x' d u -=■ -r-^ ^ tiim vcro ccnfl.:t h;!nc intc-

grationem ab altera vbi x crut variabilis r.o'.i tur- bari , habcbimus iiutic iftam intcgrationem f -~^x"- — /« + A, \bi A denctat conftantcm pcr intcgra- tionem in^rtffam , quae igitur e medio toHetur , fl duas huiusinodi formas a fe inuiccm fubtrahamus , vnde fi primo fumamus u zz a, tum vero ?f — (3 , et ponerius integrale a priori (ubtrahamus , prodibit noftra forn>a principalis initio comir.emorata

§. 22. Simili r.r.tem modo a formula intcgra- li /jj''^ A-" — /« H~ A vltcrius progrcdiamur , qua pcr <-/ u multipiicata et ex fola variabilitatc ipfius

u intcgrata ob fx"du — '— vt ante perueniemus ad iflam integrationcm:

^rfe •'*'■" =f^ " ^" -I- A « -f- E — K lu - tt -l- Au-{-B vbi cryo tcrnas formulas particularcs ir.tcr fc com- binari oportct , vt ambae conaantes A et B ex cal- culo dcturbcntur; quia auttm loco A (cribere licct A -f- I erit

fxji%i -'^" — u I u -'r A u-^ B.

§. 23. Quod fi iam denuo per d u multipli- cemus ct mtcgremus, miuatis literis ccnn.intibus , quo fcrn-.ula concinnior reddatur , reperiemus

^xj ^ -^" = i « " / « + A « ?/ -^ 13 « 4- C Tom.XX.Nou.Comm. K codem-

74- SPECVLATIONES

eodemqne modo vkeriiis

J X{1 X)'' ^"

ttc. etc.

Vnde intelHgitur , continuo pliircs cafus particuhrss inuicem coniungi debere , vt onincs qiiantitatcs coa- Ibntes A, B, C, D, ctc. cx calculo cxpellaatur.

§. 24.. Hoc igitur modo cuoluamus forniuLim §. 22. inucntam , ct exponenti u tribuamus hos trcs \alores : a, (3 et y , vt obtincamus iftas tres for- inulas> :.

I. f^- X'' = a / a H- A a 4- B

II- /(^P^^^P^P-^Af. + B

vnde- eliminando B duas hafce nancifcimur aequa- tioncs :

I-ir = a/a-|3/,3 4^A(a-p) ct

ll-IIl = (3/p-Y/y-t-A(p-Y)

(I- lI;(P-y)- (11-111) (a-p)=((3-y)a/a(f3-y)|3;.3

-(a-|3)(3/|3+(a-p,y/Y quae reducitur ad hnnc

i((3-Yj + ii(y-a)+nu«-(3)=^|3-Y)«/ft-i-(y-«)p/(3

+ (a-(3)Y/y.

§. 25. Hinc igitur pro formulis ad iHud gc- luis refcrendis conftituerc potcrimus fcqucns thcore- nia fundamcntale :

Jhcore-

ANALYTICAE. 75

Theorema 8. Ifta formula intcgralis

Idl7 (^^ - '^^^ ■"' + (y - «) ^^ + (« - P) ^•'^)

a termino .r — o vsque ad tcrcninum x — 1 exten- fx femper aequalis eft hnic valori:

(P - Y) a / a + Cy - ^) P ^ (3 + (a - P) Y ^ Y-

§. 16. Circa h:inc formam imprimis notafre iuuabit , formlilam

(^ - y) A-^ 4- (y - a) :^^ -H (« - (3) x^ non foUim per .v — i efTe diuifibilem , fed ctiam per .r — i)' ; prius inde patet , quod pofico .r .::: i fit [3— y-j-y — ct-i-a — prro

podcruis vero , qund cius ctiam differcntiale poflto X = 1 fit a i3 - y) -f- (3 (y — a) -h y (a - P)— o,

id quod n;itura rci poHuIat , quia in denommatore (/.v)" pofuo X— i continctur quadratum quantitatis euanefcentis.

§. 27. Quo vis huius intcgrationis gcneralis dnriu? perlpiciatur , cafum euoluifTe operae pretium crit quo ponitur a — « + 2, (3 — « -|- i ei y — M quandoquidem obtinebitur ifla integratio:

.v''~ ' d X (x— if f- (T^y z:(«+2)/(«-a)-2(«+i)/(«+i)+«/«

■'« -h 2)"H-' 71^

— (,j 4- 1)^1-+- .)•

K 2. §. aS.

^tf SPECVLATIONES

§. 28. Tnidlemiis co.iem moJ.) formiiLim ia- teg;ralem gniJus tcrtii , in qua occurrit {! x)' , tri- buendo exponcnti u quauior v;ilores a, (3, y, d , vndc oriuutur fequcntcs acquationcs

I. /■,4^-.v'=r=iaa/a4-Aaa-4-Ba-f-C

"• /".;'!--^'^-'Pt^^^-i-APt3^-B(3-|-C

III. /--^-^-a-^-'yy/y + AYV4-J]YH-C

IV. /-^-A-^ = :^(J/^4-A<5(J-|-B^H-C. Atque hinc erit primo

I-.Ur=iaa/a-^f3f3/(3-+-A(aa-(3t3)-L-B(a-(3) \nde fit

i^3 = ^-pF + A (a + p) + B. Eodciiic)Uc modo crit

quarum formuhirum difFcrcntia dat

qua per a — y diuilii prodit (i-ni (ir— ni) — aa;a:^,3.p:p _ /(33;j3_.vvi>) 1. a

(«-13) K<x—y) (p— 7; a-7; 2;«— ^„«_>j ^ 2>^_v ,a_v/ ^^

codemque modo erit

ai-im _ "J[^il_ — fPt3:(3_— v"WY'> ^ (lVi>— 51L?^4. A ^_y,^^_Tj (>— 5,y_6; — S i^_y (i3-Sj^ . o-i; ^jl-i)/ T'"'»'

quae p>-)(lrcma a fuperiori fublaca relinquit

I r I — w ^ _ r «_:lI'L—^ _ ^ " — "t ) j_ f I"— IV ^ —

l^a-p)3^/ \3-7.(a— »' H|3-y ,1-6)' ^ ^t7-d;,Hl-4) ,.|a_(3|3i(3)x ^ .P^jjLj^V^VJVN p^.S/^r-^j:!!)^-!"^^^^^^'*^ (.TS^.a^/ ^a^3-v.,a-vl' S p-Y; ilTIir'^^ =(7-6)1(3-5^

licquc iam omncs ties condaates A, B, C funt cli(ac,

j. 2.9.

A N A L Y T I C A E. 77

§. 29. QiDJ fi iaiTi riiigiil;! luiiiis aeqiintionls mcmbra cuoluantur et tam fecundiiin numeros I, U III, IV quam fecundum fiirmuhis aa/a, (3 (3 /3, yy/y, S S I S' iii, ordinem difpoiiantur , obtincb:- tur fcqucns aequatio :

IL'*^ ^) U "' <"« — ^' a. rv fa — J)

g —01 l_ III Ig — Q! I

— aa:£j£__, -a — ff ,3i/,i_ , fa — 6 7 Vj!>_^ , .a — 5)65/5

quae acqujiio pcr a- $ diui(a ad pulchcrrimam vnU fjrmiiatem reducitur ^ quo faAo fequcn.s nancilcimur theorema ad hunc caUim adcommodatum :

Th.orcma 9. Ifta formula integralis dx /■ ^ x^

+ .7-TT7-~75Tr.-^ +

v)y

(y-«)(y-pXY-^) (^-«)(<^-l3:(<^- 9 tcrmino a" — o vsque ad terminum .v — i cxten- Ij aequarur lcqucnti fbrmulae

aaja , p 3 / /3 i yyiy i J^J- / S"

»:«— P};a— -y « -5j '•' :(P-a' .3-7, ,3-5; ~ ^y-x.y-^xi^i :{5-x] i—^S-y)

cx qu3 forma pcrlpicitur , quo modo ad calus magis compofitos fdcile progrcdi liceat.

§. 30. Ad hunc moJum etinm prnecedcntes caTas repra (enfnre opcrae pretium crit. Ita pro di- vifore /x habebimus fequentcm formam inte^ralcm : ^ dx x^ A-3 __ J_a^ /j3_

^ x[lxy '^^) "^ ^"a. — a - (3 "^ p - a' Dcinde thcor;;ma §. 24.. allatum ita refcrctur :

K 3 J"

•78 SPECVLATIONES

dx /• A« xP >y N__

(a-(3Xa-Y)^((3-aj,p-Y)^('V-a;(v-p; atque iflam formain feqiiitur illi qu-im iii thcorc- matc vltimo retulimus.

§• 3 r. Niinc igitur hoc ncgotium in ccncre cxpcdire poterimus pro quacunque poteftatc iplius 1, X , qui in denuminatore furmulae intcgralis oc curr t , cuius cxponcns fit — « - i , vt numcrus membrorum fint rr ;/; rtim igitnr accipiantur pro lubitu numeri a, p, y, (J ctc. quorum numerus fit iz://, ct quaerantur hinc (equentcs \alores :

S{= (a- f3) (a- v)(a - 5)(a - e) (ttc. S8 = ((3 - a) ((3 - yl (p - <5) ,(3 - e; (etc.

(E =: (y- a) (y- (3) ly- (5) (Y-f' (^'^c. © zz ((J - a) ((^ - (3) ((^ - Y;; 0 - f) (ttc. etc. etc.

tnm vcro ponatur ciiam breuitatis gratia hcc pro- dudum

I. 2. 3. 4. 5 (/i - 2)= N

atque obtinebitur fcqucns forma integralis gcncralis- iima

a'— '/g (3"-V(3 Y^"'^Y ^V^

\bi notandum , ca(u « n: 2 lorc N rz i.

§• 32.

ANALYTICAE. 79

§. 3i. Ad haec vberius illuftranda meminiflre iuuabit , me iam pridem infigne thcorema arith- mcticum demonHrnflTc circa huiusmodi fradiones L_ -f L + ^ + etc. quorum numcrus fit vt ante — n

vbi odendi , omnes fequcntes formulas nihilo aequari

I.

II.

III.

IV.

donec perucniatur nd poteflatem exponcntls n — 2; nt vero fumto exponente — ;; — i Icmper fore de- mondrauimus

1	+	I	-1-	I	H-	T	-^- etc.	—	0
a	-\-	91	-i-	7	-+•	3	4- etc.		0
?J5 4-	Pi3 55	-f	77	+ '	3	etc. =:	0
2i	-+-	3- S5	+	7'	-f-	6^ 3	etc. _:	0

D£

dh:

RESOLVTIONR POLYGCNORVM RCCTILINEORVM

DiSShRlAllO SECVNiJA.

A 11 c t o r c J. I. LEXELL ^

I.

Poftquam in priori dc hoc nrgumento Difrertiuio- ne , vt (pcranius (iuis dihicide opoUiimus prin- c-p;;i , qiiibus in fubfidium vocQtis rcCulutio Folyiio- norum pcrficitur , dum rati ) tnntum h.ib-.tur late- rum et angulorum eius circuitum includcntium ; nunc id nobis propofuimus, vr olleiidair.us quoniodo acquationcs pro refolutione Polygonorum fubminiflra- tae it;i tr:ici;iri dtbcnt , \t npt;is ct commod;!S fup- pediient (olutioncs. Qucm in finem omnes cafbs rc- folutionum pro Tctragono h.ic reccnlendos ct di- Tab. I ninclc cuolucndos ccnfuimus. Si igirur ABCD ^'2 ^" fit quadribucrum , ciusque latera A B, B C, C D, D A refpcdliue defigncntur liticris ^, b^ f, r/, angu- li autem extcrni a A B, ^ B C, f C D, rt' D A in- digitcntnr pcr httcras A, B, C, J), pro refblutionc huius quadrilatcri fcqucntcs quatuor adipifcemur ac- quationcs :

I. d(i~aa-\-bb^-cc-\ ':.ahzo{.V,-\-z(ic co^.i^^-^rCyv^bc colQ

II. dd'\-cc\-^dcco[.'Dzzaa-\-bb-\-2abQO[.'^

in.

DE RESOL. rCLYGON'. RECTILIKEOR. Si

IIT. ^fin.A + ^lln.CA-f B)4<-rin (A-f EJ-C)~o; 1 \'. ^ li ii. A + ^ fm. ( A + B) - c fin. Dzz-O

qiias <]uein.idmod«iii iradari oportet , vt pro qna- \is (]U;iellioiie propofita sptas dcnt folutioncs , nviuc crit difpiciendum.

2. Problcma i. Datif latfrlbus s,b, c fjzw an' luiif B, C inuenire latus d.

Pcrfpicuum cft huius Probkmatis folutlonem ex acquationc noIUa prinia adornari , per eam enim fit

^2'rt'=fl^l-i;i?+a-+ ifl^ cof.B-f- 2/7 fcor.(B-i-C)-f 2k cof.C.

Cactcrum quum cx aequatioue dum fic exprimitur, valor ipfius d niinus commode inucftigctur , neces- fum cfi vt eandcm in tormas aliquanto commodio- res transmuttmus. P^ft vcro

( a fm. B - (T G n. C)'+ (i» 4- <? co(. B -f <• coi; C)' quarc fict

dd-{a fin. B -cfin.C)' + (i' + ^cof. B+<-cof.C)%

tum igitur fi quacratur

Taiig. ^^.-'"^^-'^vS-^conrequemur ^-&-t-«c,f.B-t-cc./.c,

Vel iiiutlligatio ipfius d fequcnti ratione pcrtici po- tent : quum fit

aa-^bbA a-+ 2tfi;cof.B+2 ^7f cof.CB^-C) + 2 ^t^cofCr^ t«+^„.,BH-o "t- {c t ~-^—^] + > coni^-t ».;,tf+ __--^j, <:-f _^p

quod facile pattbit fa(fta cuolutione pofttnons for- inae , flatuamns •

'iom.XA. iNou.Comm. L ita

8i DE RESOLVTIONE

ita vt hiibCcUur

dd—ee-^ff-\'2.efcci?.['Q^Q), hiii:|ii; dilzzie-^-fy

fi igitiir por.iunr

4^/nn.UB4-C)' r r« ^ ^lir^^— - fin. E , fict

dd—{c -\-fi cof. E' , feii d — [e-\- f) cof. E.

De hac auiem (ohuione obfcrn:irc conuenir , eam

4.^Afn.UB-f-Cr

femper adhib^ri pDfTc , quia z valo*

^ ' ^^ -+- / )

rcni fcmper coiifcquicur pofuiuum , eumqne vnitate iiiinorun. Ncceflumenim e(t , \t e ct f limul V;i- lorcs fui2 pofitiuos , (eu negatiuos fortiaiuur , tnm vero euidens elt , quod {e -{- f f ^ ^ e f , Jiincque tanto magis [e-^-ff > 4 ^/"fin. ' (B -+- CY .

3. Problenia. 2. Datis laterikus a, b, d ciim avgtdis B, C inuemre laius c.

Huic problcmati fohicndo aequatio noflra prima infcruit , vt autcm fohuioni aptior euadat , noietur eam fic expiimi pofTe :

(rf kof.C+^cof.(Bi-C))V(flrin (B+Cj+Z^ fin.C^^-^^viidc coUigitur

(<;-f-^cofCH-ffcor(B-f-C))'=i'j''^-(<?fiu.(.B-hC)4-i'fin.C)' hincque

<-+kof.CHtfcor(B-HC)z=V(^</-(rtfin.'B+C)-i-Z'fin.C)')

— V^^Hflfin.^B+CH/^fin.CX^y-flfin.^B-i-Cj-^^fin.C).

Quum autcm fignum radic:ile fua natura (ambiguum fit , et quaniitutcm tam negatiuam , quani pufitiuam

indi-

POLYGONORVM RECTILINEORVM. 83

indigitct , intclligitur cx hac neqiiationc binos ipfius

c viilorcs colligi , quod quomodo cxplicari debcat ,

haud praetcr rtm erit , \t hcic oflendamus. JJum Tab. I.

in quadnlatcro A B C D d..ntur latcra A B, B C, ^'S- **

AD ct aiiguli ^BC, cCD et quaerendum fit

C D, liquct hoc latus inueniri fi ccntro A radio

zzA\) defcribatur circulus , in interfedione enim

huius circnli cum rcda pofitione data CE, dabitur

pniKftum ].), ex quo ob dupliccm intcrfedionem cir-

culi cum rcifta C Ii , binos conicquimur \alores la-

teris incognifi C D, vcl C\J Quod autem h;irum

l.nearum val'"re«' pcr acquationem (upra allatam tx-

primantiir , fic o(knditur. Ex pun<flo A in C D

iioncahs ducamr C E ct pi.r B iffi C E parallcla

B G, tumqiJc tnt

CE- f ABcof.ABG+BCco(.BCi-=-flcof.(BfC)-^cor.C, nec non AE — cfin.(B + C) + ^fin.C, cx quo colligitur DE=:V(A1/-AE^)— V(rfr/-(afin.(B+C;+^fin.C)'), hincque f — CE+DE, ex priori valore fiti- — CU'

cx poflcriori c — C D. Cafu quo D E ~ o, hoc eft

r/— tf fin. (B -f- C) -i- i» fio. C , vnica tantum locum habct folutio eritque pro ca c — — a cof. (B -f- C) — b cof. C ; vt autcm problema fit poffibile , prae- fupponi • debct quod a fin. (E -\- C) -\- b fin. C non exluperet ^, quod quidem pro quadrjlatero fempcr cbtinet ob d fm. D — 6 fin. C 4- a fin. (B + C).

4. Problema 5. Datis htcribus a, c, d et an- gulis B, C imumre latus b,

L 2. Pro

ftf DE RESOLVTIONE

Fro hoc Problc;natc niluendo adhibcatur iftg transforniatia aeqiuitianis nollrac primac :

dd—iif-hacoi.B-^fcoi.Ci-^^aCin B-tffin.C)'

■vnde colliyitur

fc+^cof.lS+^coLCrVf^-aun.B+t-GaOy+tfrin.B-cfin.C),

hinc ob ambiguitatcm figni radicalis , duplex pro k

prodibit \alor , \triusque aurcm ratio IcquLBti modo

Tab. I. cxplicafur : P^r pundum B rcdne BC ducuniur li-

'■■ ^' i)CAc B A — c, B F — r, quae cum B C taciunt aa-

gul>'S L' B A, C B F reCpediue aequaks aogulis da-

tis B et C, pcr punclium autcm F agi,tur linea

reda E F D parallela ipfi B C , quo f.vflo liquet

j:nn(flum D quadrilatcri ir.ncniri dum ccntro A ra-

dio A D — <^ dcfciibatur ciixuUis rcdam EF inter-

f€ca.ns iii putldiO D; nam fi pcr D ducaiur D C pa-

rallela ipfi B F, p.ueb:t in quadiilatcro ABCD

angulos cxternos C' B A, G C D rclpeduie acquale»

•ellc daris B, C , tumque ciTe latus A B :::^ <7 ,

C D rn '\ F =: r . A D rr ^. At circulns ccntro A

radio zn /i' dcfcriptus reirtam EF in binis pundis

int.rtfcare potefi , ilt y^iiuv ahcra intcrfcclio b' et dudi.t, D' C parallcla ipfi B F aliud conlcqucmur

quadrnatciura , quod t.imen pro noUra fii^ura pro-

prie loquendo ad noftram quacftionem non pcrtiuet, ^nzm m illo quadrihtcro anguli intcrui A B C ,

13 C 'i' re-iicdliue acquivntur angulis datis B, C.

Caetcrum fi cx A in E F normalis ducatur , A H,

facile demonftratur eiTc :

A E — f fiu. C — a fin. B ideoque

ED--

POLYGO^^O.IVM RECTILTNEOHVM. 85

ED— V{Jci -{c Cv^ C -a fin. By) , tumquo F K — <7 cof^ B + f cof. C , hinc aurem fict

Ahcr :uKe n valnr quo

^— -v/./8'J-(4-rin.C-flfin.B/)-/?cor.B-^cof.C pro !ioc can.1 fit incon^rnus , quum fit negatiuus m — D' F. Caeterum vt lo'uLi() fit poinb lis , in- telligitnr lunc pr:ie(cr;bi conditioacm , vt habeutur i^ > f fin. C — a fin. B-

5. Problemn 4. D^z/V o:mifbus qmdrilateri la» Hrlbus et a'!guh B inumrii angulum C.

Hunc in fincm cuoluarur iile terminus aeqna- tionis noltrac prim.ie , qui continet cof. (B -j- C) , quo fadt ) conleqnemiir :

dd—aa+ifb-{-cc{-^ a b col.B-fa ^cof.C^^-Ftsfcof.B)— 2 <r a fin.Cfin.B. Vi hinc coRimoJe elici que.u angulus C , ftituamus Tang.F — -li-?^ ita vt fit ^ + acar.B^afiti.Bcot.F, tumque adipi(ccmiir :

fc^flf^Z>+^r+-2fl£'cof.B+£fl^g-fCcof.Ccof.F-fin Cfin.F), fiu* dd-aa-^rbb-^-cc-V^abcoL^^-^-zac^:!!!!^^!! eft vero

<a-4-^fr-F-2«6col.B— a'fin.B'cor.F'H-«'fin.B*— «^^'■'•^.

qiure prodibit

i^inicr-v-'"^;';^'-^ -- flf g^coC (C-f- F).

H.iec autetn aequatio in fcquentca facilc transfor- matur :

tC D E R-ESOL V T lONE

ex qnibus inuenitnr :

v. 4^^(in.B y -.• 4«i-fin.iiuu.F

^ ' Jtn.P ' ^ ' Jm. F

Tab. I. Si duda intelligatur A C diagonal s quadrilateri Fig. 4. A B C D, facile cohlKibit cffe angulu.n B C A = F,

hincque F -i- C =:: i &o° - A C L, uieo.-ue L (K + C)

ii: 90° — i A C D, quare

Tang. UF+C;- cot. ^ A C D. Hacc igitur folutio eo rtduciuir , vt inucfligato Tang. B C A- Tang. F = , "^^"'^ ,

quaeratur Tang. -J A C D pcr fonni!l.un

"^" C^ + W + '^^ ('■ -^ JTT^ "^^ ' quo fit^o crit ang. C zz i 80° - B C A — A C D. Cactcrum patct tang. I ( C -4- F ) hcic ambiguum efle ipfiquc valorcm taui negatiuum , quam pohti- \um tribui polTc , quapropter pro C biuos quoquc habebinnus \alorcs , quorum fi vnus exprimatur ht- tcra C, altcr pcr C; ncccflum cfl: vt lit

O zz 360° - C - a F ,

cll

POLYG0NO.1VM RECTILINEORVM. 87

ert enim

tang.KC4-F)=r-ta:ig(i8D°-'[C-|-F3}--tang.KC'-f-Fy,

idcoquc

3<jo° _- ( C -f- F ) — -f- C -f- F , fiue C'rr36o°-C-2F.

Ratio iiiuem lniius ainbigiiitatis efl: manifLrta , dum connderamus luper dingonali AC conftrui pjflc tri- angulum A D'C ipli ADC fimilc ct aequale, tum autcm fitt

ang. h'Cc— 360' -DCtr-2BCA, cft enim

-: ( D C t' -f i:' C c ) = A C r = 1 80 - B C A.

6. Problema 5. Datis latcribus a , b , c et anguHs B , D inueuire latus d.

Pro hnc probkmate inferuit aequatio fecunda , per quam fit :

dd-\- 2 c dco^L.T) -\- c c~a a -\- ^abzol^-\- b b

hincque

dd-\-iicdco{.'D-\-ccco^\y-aa-\-iabco^.'K'\' bb-cc^n.Tf^ in Jocum autem ipfiu»

a a -{- "2. a b coi^Q-^- b b ^ fubflituatur"

[a-\-b)^ — ^ab fin. \ B' , ita vt fit

(^-f-<7cof.D)'rz(fl4-^;;-6'ffin.D'-4fl^fin.iB', hincque fiet :

d^ccoa:-=.-V{a^b-\ c^xn,Y))[a^b-c^m.T))v( —^-^-^^ --\

' \^^x\-b^ci\\\A)){a-\-b-Qi\^.\:^)J

pofito

%% DERESOLVTIONE

pofito iwquc

; ~, ^ — r.T— fin. E ,

confcJjucmur

</-i ccol.D — <.o(.Ey{a-\ ^jf <rfir. D)(<7-i-/i-cfin.D>

Tab I. 5'S!i"''r' raiiicale indicat dupliccm pro d inucniri Fig. 5. valorcm 5 dudlu fcilicet quadriJateri ABCJ) diago- nali aC, dcfcrib.itur (upcr ca Kgmcstum c rculi qucd fufcipiat dngul:'.m CDA~i8o-D, critquc pun- <ftiim D quadnlatcri in circumftnntia luiius K'gmt:iiti, i.bique inucnictur vbi ciicuius ccntro C raJio i^ c defcriptus hoc fcgmcatum interrecct , dnm igtur duo liiibcntur punda intcrf:dionum D , D' , bini emcrgent \:ilorcs lateris d , OjUorum vinis A D altcr A D'. Notandnm autem eft , duda C E normnli in A D , ficri E D — — ^ cof. D et

AE—V(^C-CE')-V(aa'\-^^bco\\B-{-Ob-C(;Cu).T)") quam ob rem cflfe debebit <f — E D -h A E , qeo- rum valorum prior cxprimit A D , aUcr A D'.

7. Problcma 6. Dctls ommbus latcribus qua- drihteri et angulo B , inueniye cnguhm D.

Huius proWcmatis (olutio cx acquatione fccunda pcnJet , pcr quam fit

d d -\- ^ c dcolT) -\- c c~ c a -\- iabzolC-\-bb ^ ideoqu»

_ r r\ ta-^-lh — c< — rfrf-i-;a?'fef. B .

a C J

cacte-

POLYGOXORVM RCCriLTNEORVM. 89

caetcrum vt commodiiis detcrminari qucat angulus D, feqiieiite^ ai^i brc licet transform.uioiics :

pcr qtiam fit

!L {d -c)" -^ ^cdcof.yh' -(ia-b)" -^ ^a bcoC'^B\ ex qua colligitur : coCliy-^-^JX^-b-^-d-c^^a-b-d-^-c^i-^abcof.lBy

hinc

\ Jc-hd+a-\-b)(c-{-(f-a-b)A 4-obCm \V^

vel potius (i placet iftas

1 (d-\-cf-^c(iCin.yD"—{a-bf-h^abcof.lB\ ^cdCia, s U*—Cd-\-c-]-a-byj-i-c-a-\-b)-^abcoi.lh'i

IL id-cf-\-^cdcoL'iU' — [a-\-by-^ab[m.[ B\ CX quo

j\c dcoi. 'jy-^a + b-^-d- c){a-\- b - d-\-c)- ^ab {'in.lT^"; tumque vcro

, __ (Jd-^-c-^-a-h^^d-^-c-a + b^ -^abcof. : B* t2ns.',D -(^a-\-b-rd-7j~(^-\-b-d\rC'}-^ab^,W' Ponatar nunc

4^^cor:B'

tan:i. 0' —

((i-t-c-\-a-D}^a-\-c-a-\-b)*

4-abC\n :B'

tane. -yi :=: , :

{a-f-b-\-c — iiy^u-\-o>-\-u-c}

Tom.XX.Nou.Comm. M erit-

fO

DE RESOL VTION E

critqiic

vnde

tang. i D rr cot. [ B. ^'J V '^.

Ob \aIorem tang. [ D per fignum radicale indicatum, inrelligitur angulum D dupliccm conlcqui \alor(.m, quorum C\ prior dicatur D, altcr habebitur D'^36o-D. Tab. I. Nam fi triangulum ABC cx datis lateribus AB, BC l'j^- 4. et angulo ABC coriftruatur , fupcr cius bofi bini conftrui potcrunt triangula ACD, A C D datorum lat rum ct fi angulus cxtcrnus ad D pro triangulo ACD littcra D exprimatur, angulus externus ad D' in quadiilatcro ABCD' exprin.etur per 360°- D. Kem autem omnino ita fc liabcrc haud oblcurum cuadct , fi attcndamus ad ea , quae de acccptione \ocis anguli extcrni in Didcrtatione priori monui- mus.

8. Problcma 7. Datis lateribiis a , b , c ct afigiJis B, C, inuenire angulum A.

Solutio huius problcmatis pcr aequatlonem no- flram tatiam perficitur , ex qua habctur afin.A-|-^fin.(A-f-B)H-i-fin.(A + B4C)iro, fiue

fin. A ( a4- ^ cof B -\- c co['. ( B -H C ) ) rr - cof A ( /> fin. B + <; fin. CB4- C;} ,

hincque

f„ p. A — ^/'>.B-cJin.(B-4-C)

lail^. t\ — ^-|-^ ^^^ B -H c coj. ( B H- C ) '

qiiac fornr.ula licct ad computum incundum fatis fit

apta,

rOLYGOXORVM RECTIL.NRORVM. 9»

apta , fequens t.imea transformatio qiioquc adhibcri poterit , quaerjtur

ri<i R / f _i_ c An. ( B _f- C ) \ e_ _ i/Yn.B-Hcflt.fB -t- C ) _ U^^- ^ V ' H 6/,,:.^- ^

a 6j»:.C-Haji/i.;B^C) ^ p . , .ijin.^ n -^ c ) \

iin. V- (, I ^i ^-^,^ -g — ; eritque

-ffin.(B-f-C)__ -^fin (B-hC)' ""S- — rt_t-^col.(B-i-C;- iH-l-cou(B+C)* Ex hac autem poftrema formula, pofito -— tang. F» facile deducitur

tang.(KB-+-C) + A) = -tang.l(B + C)tatig.(4.5VF). Pro hoc problcmate dc valore anguli A , nulJa re Tab. I. manet ambigiiitas , ceu ex ipfa contemplatione figu- ^'S- *• lae appnrer. Nam datis angulis externis ^BC, rCD et Literibus AB, BC, CD , anguius «AB perfede detcrminatur

9. Problema 8. Datis lateribus a , b , c ^; anguUs A , C inuenire anguiwn B.

Aequatio tertia cuoluta dat

flrin.A+fin.(A+B)(^-t-fcor.C) + <;cor.(A+B)fin.Cz:o. Quod '^i igitur ponatur tang. E — ~]^^^ , fiet

tffin. ^^'-^(^^''(fin.CA + B^cof.E+cof.^AiBTiD.E^-o vcl

flfin.A-+'j;j^fin.(A-}-B-hE')=:o, liiiicque Fig. 0. fi n. ( A H- B -i- E ) =r - ±ii^V- il?LL .

Quod fi quadriliitcri A B C D dingonalis B D co ici- piaiur du(fla , fiet tang. CBDrz ^-^^- , ideoque E

indij,it-ibit angulum CBD, hinc autem coududetur efle

iVl 2 AH-B

5>2 D E R E S O L V T 1 O N E

A-4-B+E = ^BD-|-i8o°-BADm8o°-|-BDA,

quod omnino rede fe haber, cft cnim

fin. B D A : fiii. B A D : : B A : B D , tumque fm. D C ^ : fin. D B C : : B D : C D ,

quare componeiido rationes

fin B D A — B A./tri.B \ D.//1. PBC

CD.jm.DCc *

feu introduftis exprtliionibus analyticis fin. B D A - 'Juii^^JL^,

cjin.C

$i ponatiir A -h B + E :z= 180'' -j- F , facile p.Ue'^ arcum 3<)D°— F eunJcm habcre fiiium ac 180 +F , ficquc pro B duphccm prodire valorem , quorum prior c(t Br:i8o"H-F-A-H,alrcrB'-36o"-(A-hh-fF). Idcm vero ex contempl.iiione figurae inanikftum rcd- ditur , dcfciipto etenim tiinngulo B C D pro quo dantur bina latcra BC, CD cum angulo BCJ), habebitur pu;(fluin A quadnlatcri dcfcribcndo lupcr dia9;onali B D (egmcntum circul , cniod fufcipit an- gulum — 180° — A , ct centro B r.idio zz a ciicu- lum' , pro A enim affbmi potcrit altcrutrum puii- <flum interfeiflionis huius circuli cum illo (cg-iiento, \nde (ponte conficitur pro angulo B binos emer.;erc valorcs. Sint binae hae Mtericcflioncs A , a' et du- cantur lineac Z?BA , ^'BA', fi igitur anguhis 3BC pro noftra figura defignetur pcr B, crit Z)'BC = B', qiiare oportct e(fe Z>' BC — Z^BC— 1 80°— 2F. Ell "vcro F~BDA , quare ficri oportec :

^^'BC-Z-BCn ABA'= iSo^-^BD A ,

quod

POLYGONORVM RECTILINEORVM. 93

qnod fic demonftratur : iunda A A' patct eflTe ABA'ziiSo°-BAA'-BA'A= i8o-2BA'A ob BA — BA', hinc AB A' — 1H0-2 BDA , ctt enim BDA = BA'A.

10. Problema 9. Datif lateribus a, b, c e$ angulif A , B inuemre aiiguiujn C.

Ex ae4Uiuiune tcrtia (latirn deducitiir

fin. ( A ^ B H- C ) = - "Jia^^nihlLs^ll ,

qiine formula coirputo inflitucndo liuis corrmcda ett, interim haec tr.insformatio adhibcri poflet. Ponatur

7-nn.(A-l~B) — cof.Atan^'. E , critque fin. (A -i B + C)=:-^-(rm. A +cof. A.tang.E)r-"-^|^.

Valor angiili C cx formula propofita duplex prodif, uam fi poiiatiir A-f-B+CriSo^-l-F, h.ibtbimus qiioque ahum v.ilorcm pro C, per qucni fit A+B-iC— 360 -F, anguli cnim ibo-i-F et 360*^— F cundem prorfus hjbcnt finum. Hoc auieni cx confirudlione figurae fiicile iUudratur , dudis enim redlis BC, A I) qu:ie Tab I. cum d:ua 1 nca AE — ^ faciuiit ani^ulos «AB, ^BC ^'S- 7« acquales datis A, B, caotaqne B C rr ^, fi centro C ra.iio ziz c defcribatur circuhis , pro qi.arto puncflo quadnlateri D accipi potcll: ahcrutra inttr[ed:io huius circuli cum recla AD Sint iftac interledioncs D,D', tumuut cfiedehebit IKf- fyC<;-— 2F— 180°. Duda autem CK normali in AD, fiet

DCt--D'C6-DCD'=2DoE, vnde DCErF-po^. Eft aurem

F:=^BC-i-flAB-f-i-CD-i8o'_::i8o"-CDE,

iVl 3 hoc

94 DERESOL VT I O N E

r

hoc e([ F — ADC, quare liquet quoque effe DC-r-DCt— 2F- 180 = 2 ADC-180.

XI. Problema 10. Dutn lateribin a, b, c ez anguUs B , D mienlre angidum A.

Solutio ex aequatione noftra quarta deducitur , per quam fit

fin. A ( £2 -f- ^ cof. B ) 4- ^ cof. A. fin. B = <: fin. D, hinc fi ponatur tang. E rr -*^'^^-^ fiet

* o « -f- 6 co/ . B

^ fin. B ( cof A H- fin. A. cot. E) — c fin. D , feu jin.l- ^^'^- ( A + E ) = f fin. D , vnde coUigitur fin ( A -H E ) = "^Jiii^/^liE

^ ^ bjl:i. B

Pro hac formula obferuare conuenit , quod E defi- Tab. I. gnet anguluni BAC hincquc habcatur A-^h-aAQ^ F"g- 5- facile autem pjtct efle

fin. £7 A C : fin, A D C : : C D : A C tumque fin. i; B C : fin. B A C : : A C : B C , \nde componendo rationes crit

f.n ^ \ C ■ C r. ■in, \ D C.//n. B .. C

lin. fl A L _ — ^^^-^^^-^^ ,

feu introdutflis exprciruMiibus asialyticis fin. ^ A C = "Ji?;^;/'^-?. (^uum pofito cJvuv.(l2iL.— ^n-\. a AC,

bjin. a '

pro A-+-K fiimi potcrit \el ^AC, vcl iSo-d-AC, patet hinc pro A binos prodirc valores , priorem A=:^AC-BAC, akcrnm A' — 180"-^ AC-B AC, qucid pcr conflriidicncm Geomciric.im cgregic confir- mntur , dum lupcr AC lcgmentum circuli concifli- tur dcCcriptum , quod